数学题关于数列的已知数列{an}满足an+1 cosA+an sinA=11.数列{an}是公差不为0的等差数列,求A2.若a1=√3,A=π/6,且bn=an-√3+1,求{nbn}的前n项和Tn
数学题关于数列的已知数列{an}满足an+1 cosA+an sinA=11.数列{an}是公差不为0的等差数列,求A2.若a1=√3,A=π/6,且bn=an-√3+1,求{nbn}的前n项和Tn
数学题关于数列的
已知数列{an}满足an+1 cosA+an sinA=1
1.数列{an}是公差不为0的等差数列,求A
2.若a1=√3,A=π/6,且bn=an-√3+1,求{nbn}的前n项和Tn
数学题关于数列的已知数列{an}满足an+1 cosA+an sinA=11.数列{an}是公差不为0的等差数列,求A2.若a1=√3,A=π/6,且bn=an-√3+1,求{nbn}的前n项和Tn
1.设数列{an}的公差是d,则
a(n+1)cosA+an*sinA=(an+d)*cosA+an*sinA=1
即(cosA+sinA)*an=1-dcosA
若cosA+sinA不等于0,则an=(1-bcosA)/(cosA+sinA)
它与n 无关,是一个常数,那么原数列就是公差为0的等差数列,因此不符合
所以cosA+sinA=0,即sin(A+π/4)=0,从而A+π/4=kπ,解得A=-π/4+kπ,k是整数.
2.若a1=√3,A=π/6,所以原式变为a(n+1)*(sqrt(3)/2)+an*(1/2)=1
所以sqrt(3)(a(n+1)-sqrt(3)+1)+(an-sqrt(3)+1)=0
所以b(n+1)/bn=-sqrt(3)/3
所以数列{bn}是b1=1为首项,公比为-sqrt(3)/3的等比数列.
所以bn=[-sqrt(3)/3]^(n-1)
则 Tn =b1+b2+...+bn
=1*1+2*(-sqrt(3)/3)+3*[-sqrt(3)/3]^2+...+n*[-sqrt(3)/3]^(n-1)
[-sqrt(3)/3]*Sn= 1*(-sqrt(3)/3)+2*[-sqrt(3)/3]^2+...+(n-1)*[-sqrt(3)/3]^(n-1)+n*[-sqrt(3)/3]^(n)
上面两式相减得到
{1+[sqrt(3)/3]}*Sn=1+(-sqrt(3)/3)+[-sqrt(3)/3]^2+...+[-sqrt(3)/3]^(n-1)-n*[-sqrt(3)/3]^(n)
= {1-[-sqrt(3)/3]^n}/ {1+[sqrt(3)/3]}-n*[-sqrt(3)/3]^(n)
两边再同时除以1+-sqrt(3)/3得到
Tn={1-[-sqrt(3)/3]^n}/ {1+[sqrt(3)/3]}^2-n*[-sqrt(3)/3]^(n)/{1+sqrt(3)/3].
注:这种求和的方法是错位相减法.