作业帮已知点A(-2,0)B(0,2),C是圆x^2+y^2+2x=0上任意的一点,则三角形ABC面积最大值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 18:34:09
已知点A(-2,0)B(0,2),C是圆x^2+y^2+2x=0上任意的一点,则三角形ABC面积最大值为?
已知点A(-2,0)B(0,2),C是圆x^2+y^2+2x=0上任意的一点,则三角形ABC面积最大值为?
已知点A(-2,0)B(0,2),C是圆x^2+y^2+2x=0上任意的一点,则三角形ABC面积最大值为?
如下图,设切线y=x+b与圆x^2+y^2+2x=0相切于C点
即方程x^2+(x+b)^2+2x=0仅于一个实根
x²+(b+1)x+b²/2=0
(b+1)²-2b²=0
-b²+2b+1=0
(b-1)²=2
b=1-√2(正值1+√2舍去)
|AB|=2√2
C到AB的距离即直线AB与切线y=x+b间的距离
=(2-b)/√2 = (2-1+√2)/√2= (√2+2)/2
ABC面积最大值= （1/2）* 2√2 * (√2+2)/2=1+√2
分析，本题应用数形结合的方法来做。
如图（看本人插入的图片），先连接AB,求出AB的直线方程；再看此题要求三角形ABC面积的最小值，即是圆上离直线AB最近的一点便是C点，即使三角形ABC面积取得最小的一个点。那么，由先求圆心到直线AB的距离d,再降d减去圆的半径r，d-r便是使三角形取得最小值时的高。最后由三角形的面积公式求出面积的值。 另外： 圆x^2+y^2-2x=0化为标准形式：(x...
全部展开
分析，本题应用数形结合的方法来做。
如图（看本人插入的图片），先连接AB,求出AB的直线方程；再看此题要求三角形ABC面积的最小值，即是圆上离直线AB最近的一点便是C点，即使三角形ABC面积取得最小的一个点。那么，由先求圆心到直线AB的距离d,再降d减去圆的半径r，d-r便是使三角形取得最小值时的高。最后由三角形的面积公式求出面积的值。 另外： 圆x^2+y^2-2x=0化为标准形式：(x-1)^2+y^2=1
由已知，直线AB的方程为y=x+2; 圆x^2+y^2-2x=0的圆心为（1.0），半径为1；由点到直线的距离公式，得出d=3/√2，所以高为3/√2-1。
所以，三角形ABC的面积的最小值S=1/2*2√2*（3/√2-1）=3-√2
收起