作业帮已知a,b属于R+,且ab(a+b)=16,求a^2+b^2的最小值.我知道答案是8,而且好像一定要用均值不等式不过我最感兴趣的是过程——怎么解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 17:56:58
已知a,b属于R+,且ab(a+b)=16,求a^2+b^2的最小值.我知道答案是8,而且好像一定要用均值不等式不过我最感兴趣的是过程——怎么解
已知a,b属于R+,且ab(a+b)=16,求a^2+b^2的最小值.
我知道答案是8,而且好像一定要用均值不等式
不过我最感兴趣的是过程——怎么解
已知a,b属于R+,且ab(a+b)=16,求a^2+b^2的最小值.我知道答案是8,而且好像一定要用均值不等式不过我最感兴趣的是过程——怎么解
不一定要用均值不等式的,用均值不等式的方法楼上已经写了,再提供一个方法供你参考,
ab(a+b)=16
a,b属于R+,令ab=m a+b=n,则mn=16
a,b是方程x^2-nx+m=0的两根.
n^2≥4m=64/n n^3≥64 n≥4
a^2+b^2
=(a+b)^2-2ab
=n^2-2m
=n^2-32/n
设n的取值范围内n1,n2,且n2>n1.
n2^2-32/n2-n1^2+32/n1
=(n2+n1)(n2-n1)+32(n2-n1)/(n1n2)>0
随n增大,n^2-32/n单调递增,a^2+b^2当n=4时取得最小值.
(a^2+b^2)min=16-32/4=8
首先：a^2+b^2≥2ab
又（a+b)^2＝a^2+b^2+2ab≤2（a^2+b^2)
即（a^2+b^2）≥1/2(a+b)^2
考虑3（a^2+b^2）＝（a^2+b^2）＋（a^2+b^2）＋（a^2+b^2）
≥2ab＋2ab+1/2(a+b)^2
≥3〔2ab·2ab·1/2(a+b)^2〕^（1/3）
＝3（2·16^2）^1/3<...
全部展开
首先：a^2+b^2≥2ab
又（a+b)^2＝a^2+b^2+2ab≤2（a^2+b^2)
即（a^2+b^2）≥1/2(a+b)^2
考虑3（a^2+b^2）＝（a^2+b^2）＋（a^2+b^2）＋（a^2+b^2）
≥2ab＋2ab+1/2(a+b)^2
≥3〔2ab·2ab·1/2(a+b)^2〕^（1/3）
＝3（2·16^2）^1/3
＝3·8
＝24
故a^2+b^2的最小值为8，当且仅当①a^2+b^2＝a^2+b^2＝a^2+b^2
②2ab＝2ab＝1/2(a+b)^2，即a=b=c时取等号
故所求最小值为8
收起
ab(a+b)>=2(ab)^(3/2)
ab<=4 -2ab>=8
a+b>=4
a^2+b^2+2ab>=16
a^2+b^2>=16-2ab>=8
a^2+b^2=（a+b）^2-2ab=（16/ab）^2-2ab
设ab=x，则原式=（16/x）^2-2x
设y=（16/x）^2-2x求导得到y’=-512/x^(3)-2
令y’=0，则x=4，此时取得极值，为最小值
则ab=4,得a+b=4。
a^2+b^2=（a+b）^2-2ab=16-2*4=8