已知f(x)=根号(1+x^2)定义在区间[-1,1]上,设x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2 (1)求证:|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/17 00:10:53
已知f(x)=根号(1+x^2)定义在区间[-1,1]上,设x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2 (1)求证:|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|
已知f(x)=根号(1+x^2)定义在区间[-1,1]上,设x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2 (1)求证:|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|
已知f(x)=根号(1+x^2)定义在区间[-1,1]上,设x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2 (1)求证:|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|
证明:不妨假设-1≤x2<x1≤1.
【1】函数f(x)=√(1+x²).其中-1≤x≤1.
求导可得:f'(x)=x/√(1+x²).
∵对任意实数x,恒有1+x²>x²≥0.
∴√(1+x²)>|x|≥0.
∴恒有:0≤|x|/√(1+x²)<1.
即恒有|f'(x)|<1.
【2】易知,在区间[x2,x1]上,函数f(x)连续可导.
∴由“拉格朗日中值定理”可知,存在实数t∈(x2,x1),使得
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)×f'(t).
∵|f'(t)|<1.
∴|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|×|f'(t)|<|x1-x2|.即
|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.
|f(x1)-f(x2)|=|√(1+x1^2)-√(1+x2^2)|=|(x1^2-x2^2)/(√(1+x1^2)+√(1+x2^2))|
=|x1-x2||x1+x2|/(√(1+x1^2)+√(1+x2^2))
由定义,x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2 ,则有-2≤x1+x2≤2,|x1+x2|≤2
1≤1+x1^2≤2,1≤1...
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|f(x1)-f(x2)|=|√(1+x1^2)-√(1+x2^2)|=|(x1^2-x2^2)/(√(1+x1^2)+√(1+x2^2))|
=|x1-x2||x1+x2|/(√(1+x1^2)+√(1+x2^2))
由定义,x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2 ,则有-2≤x1+x2≤2,|x1+x2|≤2
1≤1+x1^2≤2,1≤1+x1^2≤2,但不能同时等于1,则2<√(1+x1^2)+√(1+x2^2)≤2√2
故|x1+x2|/(√(1+x1^2)+√(1+x2^2))<1
所以 |f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|
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