在平面直角坐标系中,点A(4,0),点B(0,4),点P在直线AB上运动（1）若点P在第四象限,作BM⊥OP于点M,AN⊥OP于点N,求证:MN=BM+AN（2）若点P在第四象限,仍作作BM⊥OP于点M,AN⊥OP于点N,试探究线段MN,BM,AN所满

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 07:46:58

在平面直角坐标系中,点A(4,0),点B(0,4),点P在直线AB上运动（1）若点P在第四象限,作BM⊥OP于点M,AN⊥OP于点N,求证:MN=BM+AN（2）若点P在第四象限,仍作作BM⊥OP于点M,AN⊥OP于点N,试探究线段MN,BM,AN所满
在平面直角坐标系中,点A(4,0),点B(0,4),点P在直线AB上运动
（1）若点P在第四象限,作BM⊥OP于点M,AN⊥OP于点N,求证:MN=BM+AN
（2）若点P在第四象限,仍作作BM⊥OP于点M,AN⊥OP于点N,试探究线段MN,BM,AN所满足的数量关系式,并画图说明

在平面直角坐标系中,点A(4,0),点B(0,4),点P在直线AB上运动（1）若点P在第四象限,作BM⊥OP于点M,AN⊥OP于点N,求证:MN=BM+AN（2）若点P在第四象限,仍作作BM⊥OP于点M,AN⊥OP于点N,试探究线段MN,BM,AN所满

(1)
如图1. 因为OA=OB
易证 △BMO全等△ONA
所以 MO=AN, BM=ON
所以 MN=MO+ON=AN+BM
(2)
若P点在第二象限,同第四象限,MN=AN+BM
若P点在第一象限,如图2
同样有 △BMO全等△ONA
即 MO=AN, BM=ON
若 ∠POA<45度,即AP<BP
则 AN<BM
故 MN=ON-MO=BM-AN

若 ∠POA>45度,即AP>BP
则 AN>BM
故 MN=MO-ON=AN-BM

若 ∠POA=45度,即AP=BP
则 AN=BM , MN=0
即 MN=BM-AN

综上,当P在第一象限,MN=|BM-AN|