已知抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4,求抛物线的方程（2)设斜率为2的直线与抛物线相交于AB两点,且lABl=3根号5,求三角形AOB的面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 20:30:38

已知抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4,求抛物线的方程（2)设斜率为2的直线与抛物线相交于AB两点,且lABl=3根号5,求三角形AOB的面积
已知抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4,求抛物线的方程
（2)设斜率为2的直线与抛物线相交于AB两点,且lABl=3根号5,求三角形AOB的面积

已知抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4,求抛物线的方程（2)设斜率为2的直线与抛物线相交于AB两点,且lABl=3根号5,求三角形AOB的面积
（1）点（3,m）在 y 轴右侧,因此设抛物线方程为 y^2=2px ,
其焦点（p/2,0）,准线 x= -p/2 ,
根据抛物线定义,点（3,m）到准线距离等于 4 ,即 3+p/2=4 ,
解得 p=2 ,所以抛物线方程为 y^2=4x .
（2）设 AB 方程为 y=2x+b ,
则 2y=4x+2b=y^2+2b ,
化简得 y^2-2y+2b=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
那么 y1+y2= 2 ,y1*y2=2b ,
由 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=5/4*(y2-y1)^2=5/4*[(y1+y2)^2-4y1y2]=5/4*(4-8b)=45
得 b= -4 ,
因此直线 AB 方程为 y=2x-4 ,
原点到直线 AB 的距离为 h=|0-4|/√5=4√5/5 ,
所以 SAOB=1/2*|AB|h=1/2*3√5*4√5/5=6 .

（1）∵抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,
∴y²=2px ,焦点（p/2,0）
∵抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4
∴m²=6p m²+(3-p/2)²=16
∴p=-14或者2
∴抛物线的方程：y²=-28x或者y²=4x
(2)设直线y=2x+b，A(x1,y1)、B(x...

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（1）∵抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,
∴y²=2px ,焦点（p/2,0）
∵抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4
∴m²=6p m²+(3-p/2)²=16
∴p=-14或者2
∴抛物线的方程：y²=-28x或者y²=4x
(2)设直线y=2x+b，A(x1,y1)、B(x2,y2)
①y²=-28x。则4x²+(4b+28)x+b²=0∴x1+x2=-b-7 x1x2=b²/4 y1+y2=2(-b-7)+2b=-14
y1y2=4b²/4+2b(-b-7)+b²=-14b
∵|AB|=3√5
∴(x1-x2)²+(y1-y2)²=45 (x1+x2)²+(y1+y2)²-4x1x2-4y1y2=45
∴b²+14b+49+196-b²+56b=45
∴b=-20/7
∴直线：y=2x-20/7
∴O到AB的距离h：h=|-20/7|/√(1+4)=4√5/7
∴S⊿AOB=1/2*AB*h=1/2*3√5*4√5/7=30/7
②y²=4x。则4x²+(4b-4)x+b²=0∴x1+x2=-b+1 x1x2=b²/4 y1+y2=2(-b+1)+2b=2
y1y2=4b²/4+2b(-b+1)+b²=2b
∵|AB|=3√5
∴(x1-x2)²+(y1-y2)²=45 (x1+x2)²+(y1+y2)²-4x1x2-4y1y2=45
∴b²-2b+1+4-b²-8b=45
∴b=-4
∴直线：y=2x-4
∴O到AB的距离h：h=|-4|/√(1+4)=4√5/5
∴S⊿AOB=1/2*AB*h=1/2*3√5*4√5/5=6

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