已知三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0求角B的大小

已知三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0求角B的大小
已知三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0求角B的大小

已知三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0求角B的大小
由正弦定理可知：
a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC [2R是指外接圆半径]
代入到上式,去掉公因子2R,得到：
(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0
2sinAcosB+(sinCcosB+sinBcosC)=0
2sinAcosB+sin(B+C)=0
而sin(B+C)=sin(180-A)=sinA
所以：2sinAcosB+sinA=0
去掉sinA
2cosB+1=0 cosB=-0.5 B=120

化角，
2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0
2sinAcosB+sin(B+C)=0
2sinAcosB+sin(A)=0
2cosB=-1
cosB=-0.5
b=120度

由余弦定理得：
①cosB=﹙a²＋c²－b²﹚／﹙2ac﹚，
②cosC=﹙a²＋b²－c²﹚／﹙2ab﹚，
分别代人上面等式展开、整理、化简得：
a²＋c²－b²／﹙2ac﹚=－½=cosB，
∴∠B=120°