作业帮若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:33:02
若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.
若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.
若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.
根据奇函数的定义,
f(-x)=-f(x)①
f(-x+2)=-f(x+2)②
由①,有f(-x+2)=-f(x-2)③
将③代入②,有-f(x-2)=-f(x+2),即f(x-2)=f(x+2)
则已经证明f(x)是以4为周期了.
这个题目应该是比较典型的函数题目的，。。我毕业好久了。。现在忘记了。。不过应该不难的了。。
f(x+2)也为奇函数,则f(-x+2）=-f(x+2),令x=2-x。即可。。
证明：
由题设可知，对任意实数x,恒有：
f(x)+f(-x)=0
f(x+2)+f(-x+2)=0
在等式f(x)+f(-x)=0中，设x=-t+2,则-x=t-2
此时有：f(-t+2)+f(t-2)=0
即有：f(-x+2)+f(x-2)=0
又：f(-x+2)+f(x+2)=0
∴恒有：f(x-2)=...
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证明：
由题设可知，对任意实数x,恒有：
f(x)+f(-x)=0
f(x+2)+f(-x+2)=0
在等式f(x)+f(-x)=0中，设x=-t+2,则-x=t-2
此时有：f(-t+2)+f(t-2)=0
即有：f(-x+2)+f(x-2)=0
又：f(-x+2)+f(x+2)=0
∴恒有：f(x-2)=f(x+2)
再设x-2=k,则x+2=k+4
∴可得：f(k)=f(k+4)
即恒有：f(x+4)=f(x)
由周期函数定义可知，
函数f(x)是周期为4的周期函数。
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