已知函数f(x)=lnx+1/x+ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).(1) 当a=0时,求f(x)的最小值;(2) 若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围;
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 19:48:35
已知函数f(x)=lnx+1/x+ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).(1) 当a=0时,求f(x)的最小值;(2) 若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围;
已知函数f(x)=lnx+1/x+ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).
(1) 当a=0时,求f(x)的最小值;
(2) 若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围;
已知函数f(x)=lnx+1/x+ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).(1) 当a=0时,求f(x)的最小值;(2) 若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围;
(1)当a=0时,f(x)=lnx+1/x.求导得:f'(x)=1/x-1/x^2=(1-1/x)/x
因为x∈(0,+∞),当f'(x)=0时取得极值,所以取得极值点x=1
当x<1时,f'(x)<0,f(x)随着x的增大而减小;当x>1时,f'(x)>0,f(x)随着x的增大而增大.
所以,f(x)在x=1时的极值是极小值,也是最小值,等于1
(2)f'(x)=1/x-1/x^2+a=a+1/4-(1/x-1/2)^2
当x∈[2,+∞)时,f'(x)∈(a,a+1/4].由于f(x)在此区段是单调函数,所以,有
a≥0或a+1/4≤0 得:a的取值范围是(-∞,-1/4]∪[0,+∞)