直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/16 08:10:13

直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图
直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图

直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图
过B作MN∥AC,再过A作AE⊥MN交MN于E、过C作CF⊥MN交MN于F,连结A1E、C1F.
∵∠ABC＝90°,　∴由勾股定理,有：AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（16＋9）＝5.
∵EF∥AC、AE⊥EF、CF⊥EF,　∴ACFE是矩形,
∴EF＝AC＝5、AE＝CF、∠AEB＝∠CFB＝90°.
∴由勾股定理,有：√（AB^2－AE^2）＝BE、√（BC^2－CF^2）＝BF,
∴√（AB^2－AE^2）＋√（BC^2－CF^2）＝BE＋BF＝EF＝5,
∴√（16－AE^2）＝5－√（9－CE^2）＝5－√（9－AE^2）,
两边平方,得：16－AE^2＝25－10√（9－AE^2）＋9－AE^2,
∴10√（9－AE^2）＝25＋9－16＝18,　∴5√（9－AE^2）＝9,
两边再平方,得：25（9－AE^2）＝81,　∴25AE^2＝25×9－81＝9×（25－9）＝9×16,
∴AE^2＝9×16/25＝144/25.
∵ABC－A1B1C1是直棱柱,　∴AA1⊥平面ABC,　而B是矩形ACFE中EF上的一点,
∴AA1⊥平面ACFE,　∴AE是A1E在平面ACFE上的射影,　又EF⊥AE,
∴由三垂线定理,有：A1E⊥EF.
∵ABC－A1B1C1是直棱柱,　∴A1C1∥AC,　又EF∥AC,　∴A1C1∥EF.
由A1E⊥EF、A1C1∥EF,得：A1E为A1C1与EF间的距离.
∵A1C1∥EF,　∴A1、C1、F、E共面,　而B是FE上的点,　∴A1、C1、F、B、E共面.
∵ACFE是矩形,　∴A、C、F、E共面,　而B是EF上的点,　∴A、C、F、B、E共面.
∴EF是平面A1BC1与平面ABC的交线.　∴A1E是A1C1与 l 的距离.
∵AA1⊥平面ACFE,　∴AA1⊥AE,
∴A1E＝√（AA1^2＋AE^2）＝√（1＋144/25）＝√（169/25）＝13/5.
即A1C1与 l 的距离为13/5.