作业帮梯形如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A＝90º,AB＝AD＝6,DE⊥CD交AB于E,DF平分∠CDE交BC于F,连接EF.(1)证明：CF＝EF；(2)当AE=2时,求EF的长．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:11:53
梯形如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A＝90º,AB＝AD＝6,DE⊥CD交AB于E,DF平分∠CDE交BC于F,连接EF.(1)证明：CF＝EF；(2)当AE=2时,求EF的长．
梯形
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A＝90º,AB＝AD＝6,DE⊥CD交AB于E,DF平分∠CDE交BC于F,连接EF.(1)证明：CF＝EF；
(2)当AE=2时,求EF的长．
梯形如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A＝90º,AB＝AD＝6,DE⊥CD交AB于E,DF平分∠CDE交BC于F,连接EF.(1)证明：CF＝EF；(2)当AE=2时,求EF的长．
1.过D点作DH⊥BC,交BC于H点,则ABHD是正方形,∵∠ADE+∠EDF=90°,∠HDC+∠EDF=90°,∴∠ADE=∠HDC,△ADE≌△HDC,DE=DC,∵DF平分∠CDE,∴∠EDF=∠CDF,DF为共用边,∴△EDF≌△CDF,CF=EF；
2.AE=2,ED=√(36+4)=2√10,连接EC交DF于G点,∵△EDC为等腰直角△,∴DF⊥EC,则CG=EG=√2/2*2√10=2√5,∵∠DFC为直角△DHF和直角△CGF的共用角,∴△DHF∽△CGF,DF/CF=DH/CG=6/2√5=3√5/5,余弦定理：EF²=ED²+DF²-2ED*DFcos45°,EF²=40+9/5EF²-12√2*√2/2*EF,得：EF=5,EF=10(舍去),则EF的长为5.
设MF=x
因为CF=MF+MC，MC=AE=2，所以CF=x+2
因为EF=CF，所以EF=x+2
又BF=BM-MF=6-x
BF平方+BF平方=EF平方
x=3
所以EF=3+2=5
(1)作DM垂直BC于M.又∠A=∠B=90°,AD=AB,则四边形ABMD为正方形.
∴BM=DM=AB=AD=6;
∵∠EDC=∠ADM=90°.
∴∠ADE=∠MDC;
又∠A=∠DMC=90°,故:⊿ADE≌ΔMDC(ASA),则CM=EA;DC=DE.
又DF=DF;∠EDF=∠CDF.故⊿CDF≌ΔEDF(SAS),得EF=CF.
(2)...
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(1)作DM垂直BC于M.又∠A=∠B=90°,AD=AB,则四边形ABMD为正方形.
∴BM=DM=AB=AD=6;
∵∠EDC=∠ADM=90°.
∴∠ADE=∠MDC;
又∠A=∠DMC=90°,故:⊿ADE≌ΔMDC(ASA),则CM=EA;DC=DE.
又DF=DF;∠EDF=∠CDF.故⊿CDF≌ΔEDF(SAS),得EF=CF.
(2)tan∠ADE=AE/AD=1/3,即AE/6=1/3,AE=2,则CM=2,BC=BM+CV=8.
设EF=CF=X,则BF=BC-CF=8-X.
BE^2+BF^2=EF^2,即(6-2)^2+(8-X)^2=X^2, X=5.即EF的长为5.
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(1)证明：过点D作DG⊥BC，垂足G，AD∥BC，∠A＝90º 知GD=AB
AB＝AD＝6，知AD=GD ； DE⊥CD ∠CDG+ ∠EDG=90°=∠EDA+∠EDG
故∠CDG =∠EDA ∠A=∠DGC=90°△ADE≌△GDC DE=DC
又 DF=DF DF...
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(1)证明：过点D作DG⊥BC，垂足G，AD∥BC，∠A＝90º 知GD=AB
AB＝AD＝6，知AD=GD ； DE⊥CD ∠CDG+ ∠EDG=90°=∠EDA+∠EDG
故∠CDG =∠EDA ∠A=∠DGC=90°△ADE≌△GDC DE=DC
又 DF=DF DF平分∠CDE △FDE≌△FDC 所以CF＝EF
(2)当AE=2时，GC=2 AB＝AD＝6 EB=6-2=4 EF=FC=6+2-BF=8-BF....①
在直角三角形BEF中：EB²+BF²=EF²......② 由①②解得：EF=5
收起
EF=5