已知数列{an}中a1=COS(α/2),0≤α≤π/2,a(n+1)=根号下(1+an)/2.(1)求an通项(2)设Sn为数列{π/2-an}的前n项和,证Sn≥(1-1/2^n)α

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 01:20:55

已知数列{an}中a1=COS(α/2),0≤α≤π/2,a(n+1)=根号下(1+an)/2.(1)求an通项(2)设Sn为数列{π/2-an}的前n项和,证Sn≥(1-1/2^n)α
已知数列{an}中a1=COS(α/2),0≤α≤π/2,a(n+1)=根号下(1+an)/2.(1)求an通项
(2)设Sn为数列{π/2-an}的前n项和,证Sn≥(1-1/2^n)α

已知数列{an}中a1=COS(α/2),0≤α≤π/2,a(n+1)=根号下(1+an)/2.(1)求an通项(2)设Sn为数列{π/2-an}的前n项和,证Sn≥(1-1/2^n)α
观察递推公式可知,递推公式非常像余弦的倍角公式,因此易知an=cos(α/2^n).
观察第二问的被证问题,显然把三角去掉了,我们常用的去三角是x>sinx,但第二问既然出现π/2-an,这里可以将常见的x>sinx变成cosx=sin(π/2-x)<π/2-x(前提是x>0),变形得到π/2-cosx>x.这时就非常容易看出第二问的解答了.Sn>(1/2+1/4+1/8+……+1/2^n)α=(1-1/2^n)α.

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a(n+1)=根号下(1+an)/2左右两边取对数,即为新的等比数列,则ln(an+1)=(1/2)n-1次方乘以COS(α/2)。。。。。剩下的就好做了。。。自己解决吧,时间不够了。。。。嘿嘿