作业帮已知数列an满足a1+2a2+2^2a3+...+2^n-1an=2^2n-1(n∈N*)1.求数列an的通项公式2.设bn=(2/3)nan,求数列bn的前n项和Sn.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 10:41:46
已知数列an满足a1+2a2+2^2a3+...+2^n-1an=2^2n-1(n∈N*)1.求数列an的通项公式2.设bn=(2/3)nan,求数列bn的前n项和Sn.
已知数列an满足a1+2a2+2^2a3+...+2^n-1an=2^2n-1(n∈N*)
1.求数列an的通项公式
2.设bn=(2/3)nan,求数列bn的前n项和Sn.
已知数列an满足a1+2a2+2^2a3+...+2^n-1an=2^2n-1(n∈N*)1.求数列an的通项公式2.设bn=(2/3)nan,求数列bn的前n项和Sn.
1.
a1+2a2+2²a3+...+[2^(n-1)]an=2^(2n-1) (1)
a1+2a2+2²a3+...+[2^(n-2)]a(n-1)=2^(2n-3) (2)
(1)-(2)
[2^(n-1)]an=2^(2n-1)-2^(2n-3)=3×2^(2n-3)
an=3×2^(2n-3)/2^(n-1)=3×2^(n-2)
数列{an}的通项公式为an=3×2^(n-2).
2.
bn=(2/3)nan=(2/3)×n×3×2^(n-2)=n×2^(n-1)
Sn=b1+b2+...+bn=1×2^0+2×2^1+...+n×2^(n-1)
2Sn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2ⁿ
Sn-2Sn=-Sn=2^0+2^1+...+2^(n-1)-n×2ⁿ=(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2ⁿ=(1-n)×2ⁿ -1
Sn=(n-1)×2ⁿ +1
a1+2a2+2^2a3+...+2^n-1an=2^2n-1(n∈N*)
a1+2a2+2^2a3+...+2^n-1an +2^na(n+1)=2^2(n+1)-1(n∈N*)
下减上：2^na(n+1）=3X2^2n， a(n+1)=3X2^n , an =3X2^(n-1)
2. bn=2/3X3n2^(n-1)=2Xn2^(n-1）=n2^n后面求Sn简单了吧