lim x→∞[(x^2+5x)/(x^2-5x)]^(x^k),当k取何值,极限为常数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 09:54:25

lim x→∞[(x^2+5x)/(x^2-5x)]^(x^k),当k取何值,极限为常数
lim x→∞[(x^2+5x)/(x^2-5x)]^(x^k),当k取何值,极限为常数

lim x→∞[(x^2+5x)/(x^2-5x)]^(x^k),当k取何值,极限为常数
超速把题改了==
令y=[(x^2+5x)/(x^2-5x)]^(x^k)
lny=x^k ln[(x^2+5x)/(x^2-5x)]
=ln[(x^2+5x)/(x^2-5x)]/(x^(-k))
若y极限是常数
则lny极限也是常数
用等价无穷小替换
ln(1+t)~t,t->0
此处所以有
ln[(x^2+5x)/(x^2-5x)]
=ln[1+(10x)/(x^2-5x)]
=ln[1+(10)/(x-5)]
当x->无穷时
10/(x-5)->0
所以
ln[1+(10)/(x-5)]~(10)/(x-5)
所以lny=(10)/(x-5)/(x^(-k))
=10x^k/(x-5)
=10x^(k-1)/(1-5/x)
当x趋向于∞时,分母趋向于1-0=1
所以为了lny的极限是常数
分子的极限是有限数
所以为了使x^(k-1)在x趋向∞时有限
必然有k-1

原极限=lim x→∞[(x^4-25*x^2)/x^k]

分子分母同时除以x^4，得原极限=lim x→∞[1-(25/x^2)]/x^(k-4)

此时显然分子有不等于0的极限1，所以原极限=lim x→∞[1/x^(k-4)]，

①当k=4时，原极限=lim x→∞(1/1)=1，为常数；

②当k>4时，原极限=lim x→∞(1/∞)=0，为常数；

③当k<4时，原极限=lim x→∞[x^(4-k)]=∞ ，不是常数。

综合①②③，得k≥4时，原极限为常数。 k取值为{k|k≥4}

Lim [x^2/(x^2-1)]^x (x→∞) lim(1+x/x)2x (x→∞) lim(x→∞)arcsin2x/5x lim xsin(2/x) x→∞ lim(x→∞)[(X^2+2x+5)/(3x^2-x+1) = lim(x-cosx)/x x→-∞ lim(x→∞)(cos1/x)^x 1.lim x->∞ （2x/x^2+1)*cosx 2..lim x->∞{ [(x^2-x)arctanx]/x^3-x-5}3..lim x->0 （e^x-e^-x-2x)/(x-sinx) 4..lim x->0 (sinx-x)/(x^3) 5..lim x->0 (x^2*tanx)/(x-tanx) 6..lim x->0 (1+3/x)^2x 7..lim x->0 (1+2x)^(3/sinx) 8.lim x->∞ (x/1+x)^(x-3) 9..li lim(x)lim(x→∞) [(x-1)/(x+1)]^2x 为什么 lim(x->∞) {[(-2)/(x+1)]*2x} = -4 求极限lim(x→∞)(2x/3-x)-(2/3x)求极限lim(x→5)根号(x-1)-2/x-5 lim(x→∞)[5X*(tan2/3x)] lim x→∞ (x+sin 2x)/2 lim(x→∞)(1-2/x)^2x x/2-1lim(1-2/x)x→∞ lim x→∞(2x+1)/(3x-4) lim(x→+∞) (2/π arctan X)^X lim(x→∞)(1-2/x) (x+1)次方 lim x→∞ x-1/x^2