abc=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于根号a+根号b+根号c

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 17:18:59

abc=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于根号a+根号b+根号c
abc=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于根号a+根号b+根号c

abc=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于根号a+根号b+根号c
证明:
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/abc
=ab+bc+ac
=(1/2)[(ab+bc)+(ab+ac)+(ac+bc)]
≥(1/2)[2(ab*bc)^(1/2)+2(ab+ac)^(1/2)+2(ac+bc)^(1/2)]
=(abc*b)^(1/2)+(abc*a)^(1/2)+(abc*c)^(1/2)
=b^(1/2)+a^(1/2)+c^(1/2)
得证.

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因为abc=1
所以(1/a+1/b+1/c)* a*b*c =1/a+1/b+1/c
即 bc+ac+ab=1/a+1/b+1/c
因为abc=1,所以根号（a*b*c）=根号1=1
所以（根号a+根号b+根号c）*根号(a*b*c)=根号a+根号b+根号c
即根号bc+根号ac+根号ab=根号a+根号b+根号c
因为
根号ab>=ab,根号ac>=ac,根号bc>=bc,
所以 bc+ac+ab>=根号bc+根号ac+根号ab
所以 1/a+1/b+1/c大于等于根号a+根号b+根号c

收起

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证明：
1/a+1/b+1/c
= abc*(1/a+1/b+1/c)
= bc+ca+ab
= [(1/2)ab+(1/2)bc]+[(1/2)ab+(1/2)ca]+[(1/2)bc+(1/2)ca]
>= 2*根号下[(1/2)ab*(1/2)bc]+ 2*根号下[(1/2)ab*(1/2)ca]+ 2*根号下[(1/2)bc+(1/2)ca]
= 根号下(ab^c)+ 根号下(a^bc)+ 根号下(abc^)
= 根号下(abc)*(根号a+ 根号b+ 根号c)
= 根号a+ 根号b+ 根号c
证毕

收起

若a,b,c>0.abc=8.求证1 不等式证明 abc=1,求证a+b+c+1/a+1/b+1/c 在△ABC中,求证：1/A+1/B+1/C>=9/A+B+C 三角形ABC的三个内角ABC成等差数列,求证1/a+b +1/b+c=3/a+b+c 三角形ABC的三个角ABC成等差数列,求证:(1/a+b)+(1/b+c)=3/a+b+c 若△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证:c/(a+b)+a/(b+c)=1 设三角形a,b,c.a+b+c=1求证a^2+b^2+c^2+4abc 已知abc为正数,且a+b+c=1,求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 已知abc都是正整数,且a+b+c=1求证:(1-a)(1-b)(1-C) ≥8abc 已知abc都是正数,且a+b+c=1 求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 已知abc属于正实数且abc=1 求证(a+b)(b+c)(c+a)≥8 已知:abc=1,a>0,b>0,c>0,求证:(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c>=2(a+b+c) 已知a>0,b>0,c>0,求证：(1)(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc;(2)(a/b)+(b/c)(c/a)>=3 在三角形ABC中,若A+B=120度,则求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1 在三角形ABC中,A+B=120°,则求证a/b+c+b/a+c=1 在三角形ABC中,若A+B=120°,则求证：a/b+c+b/a+c=1 在三角形ABC中,若A+B=120度,则求证：a/b+c + b/a+c =1 在三角形ABC中,若A+B=120° 求证a/（b+c） +b/(a+c) =1