作业帮如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角B—AC—G的大小.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 19:30:35
如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角B—AC—G的大小.
如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.
（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小.
如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C—AB—F是直二面角,AF=a,G是EF的中点.（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角B—AC—G的大小.
（1）△ABG中,AB=2a,AG=BG=根号2a,所以AG²+BG²=AB²
∠AGB=90°,AG⊥BG.1
又C—AB—F是直二面角,所以CB⊥平面ABEF,也就是CD⊥平面ABG,
所以,CB⊥AG.2
由1,2知道,AG⊥平面BGC,又AG∈平面AGC,所以：平面AGC⊥平面BGC
（2）△BGC中做直线BH⊥GC于H点,由（1）平面AGC⊥平面BGC得到：
BH⊥平面AGC,所以,∠BGH即GB与平面AGC所成的角
其正弦值就是,BH/BG.
易求出BG=根号2a,又BC=2a,∠CBG=90,可求出BH=【2*（根号3）】/3a
于是正弦值：为BH/BG=(根号6)/6
（3）取AC中点为O,连接OH.因为正方形ABCD,所以,AO⊥AC.3
又BH⊥平面AGC,BH⊥AC,.4
由3,4推出,AC⊥OH,于是二面角B-AC-G就是∠BOH
△BOH中,∠BHO=90度,
sin∠BOH=BH/BO=【2*（根号3）】/3 a除以 （根号2a）=（根号6）/6
所以：∠BOH=arcsin（根号6）/6