作业帮设随机变量(x,y)在D上服从均匀分布其中d为直线x=0,y=0,x=2,y=2围成的区域,求x-y的分布函数及概率密度函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:39:22
设随机变量(x,y)在D上服从均匀分布其中d为直线x=0,y=0,x=2,y=2围成的区域,求x-y的分布函数及概率密度函数
设随机变量(x,y)在D上服从均匀分布其中d为直线x=0,y=0,x=2,y=2围成的区域,求x-y的分布函数及概率密度函数
设随机变量(x,y)在D上服从均匀分布其中d为直线x=0,y=0,x=2,y=2围成的区域,求x-y的分布函数及概率密度函数
f(x,y) = 1/4 (x,y) 在D上.
f(x,y) = 0 在其它点.
设Z = X-Y,
设G表示区域:x-y <= z , 或 y>=x-z (z为任意实数)
即G为直线 y=x-z 上方的平面部分.
则FZ(z) = P(Z<=z ) = P(X- Y<=z)= f(x,y)在G上的二重积分.
由于是均匀分布,故实际上只用到G与D的交集的面积的计算.
得: z<-2 时: FZ(z) = 0 ; ( G与D交集为空).
-2<=z <0, FZ(z) = (1/4)*(1/2)(2+z)^2 = (1/8)(2+z)^2 (图中三角形ABC的面积:(1/2)(2+z)^2)
0<=z <2 , FZ(z) = (1/4)[4- (1/2)(z-z)^2] = 1-(1/8)(2-z)^2
[(4- (1/2)(z-z)^2]为图中五边形AODEFA 面积,用正方形面积减去三角形DEH的面积.]
z>=2 FZ(z) = (1/4)*4 =1 ( G与D的交集为D.)
整理: z<-2, FZ(z) =0,
-2<=z<0 FZ(z) =(1/8)(2+z)^2
0<=z<2 FZ(z) =1- (1/8)(2-z)^2
z>=2 FZ(z) = 1
求导,得 密度 fZ(z)
|z| >2 fZ(z)= 0;
-2<z<0 fZ(z) =(1/4)(2+z)
0<=z<2 fZ(z) =(1/4)(2-z)