作业帮∫ (cos^2(x))/(sin^3(x)) dx的结果是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 05:05:48
∫ (cos^2(x))/(sin^3(x)) dx的结果是多少?
∫ (cos^2(x))/(sin^3(x)) dx的结果是多少?
∫ (cos^2(x))/(sin^3(x)) dx的结果是多少?
∫ cos²x/sin³x dx
= ∫ cot²x * cscx dx
= ∫ (csc²x - 1) * cscx dx
= ∫ csc³x dx - ∫ cscx dx
= ∫ csc³x dx - ln|cscx - cotx|
记A = ∫ csc³x dx = ∫ cscx * csc²x dx = ∫ cscx d(- cotx)
= - cscxcotx + ∫ cotx d(cscx)
= - cscxcotx - ∫ cot²x * cscx dx
= - cscxcotx - ∫ (csc²x - 1) * cscx dx
= - cscxcotx - A + ∫ cscx dx
2A = - cscxcotx + ln|cscx - cotx|
A = (- 1/2)cscxcotx + (1/2)ln|cscx - cotx|
原式 = (- 1/2)cscxcotx - (1/2)ln|cscx - cotx| + C
∫ cos²x/sin³x dx
=∫ cot²xcscx dx
=∫ (csc²x - 1)cscx dx
=∫ csc³x dx - ∫ cscx dx
=∫ csc³x dx - ln|cscx - cotx| （1）
下面计算：
∫ csc³x dx
=-∫...
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∫ cos²x/sin³x dx
=∫ cot²xcscx dx
=∫ (csc²x - 1)cscx dx
=∫ csc³x dx - ∫ cscx dx
=∫ csc³x dx - ln|cscx - cotx| （1）
下面计算：
∫ csc³x dx
=-∫ cscx d(cotx)
=-cscxcotx - ∫ cot²xcscx dx
=-cscxcotx - ∫ (csc²-1)cscx dx
=-cscxcotx - ∫ csc³x dx + ∫ cscx dx
=-cscxcotx - ∫ csc³x dx + ln|cscx - cotx|
将- ∫ csc³x dx移到等式左边与左边合并后，除去系数，得：
∫ csc³x dx = -(1/2)cscxcotx + (1/2)ln|cscx - cotx| + C
代回（1）
原积分=-(1/2)cscxcotx + (1/2)ln|cscx - cotx| - ln|cscx - cotx| + C
=-(1/2)cscxcotx - (1/2)ln|cscx - cotx| + C
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