如图,点D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,EG⊥AC于G,FH⊥AB于H,且EG和FH相交于点P.浏览次数PD与AE能否相等，AB与AC有什么关系

如图,点D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,EG⊥AC于G,FH⊥AB于H,且EG和FH相交于点P.浏览次数PD与AE能否相等，AB与AC有什么关系
如图,点D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,EG⊥AC于G,FH⊥AB于H,且EG和FH相交于点P.浏览次数
PD与AE能否相等，AB与AC有什么关系

如图,点D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,EG⊥AC于G,FH⊥AB于H,且EG和FH相交于点P.浏览次数PD与AE能否相等，AB与AC有什么关系

如图,过B作BI//DF交AC于I,过C作CJ//DE交AB于J.显然PEDF为平行四边形.

PE=DF=BI/2,DE=CJ/2.因为∠PHA=∠PGA=90°,所以A、G、P、H四点共圆,∠A=∠HPE=∠PED.

在△PDE中,由余弦定理得：PD=√(PE^2+DE^2-2PE•DEcos∠PED)=√(BI^2+CJ^2-2BI•CJcos∠A)/2=√[(ABsin∠A)^2+(ACsin∠A)^2-2AB•AC•(sin∠A)^2•cos∠A]/2=sin∠A•√(AB^2+AC^2-2AB•ACcos∠A)/2

因为√(AB^2+AC^2-2AB•ACcos∠A)=BC,所以PD=BC/2•sinA=BDsinA

本题转化为探究AE和BDsinA的值能否相等!

这样是看不出来结果的,我们不妨转化成解析几何.为了简化令A(a,b),B(-1,0),C(1,0),则D为坐标原点(0,0).经过计算得：

|AE|=√{a^2+b^2-b^2/[(a+1)^2+b^2]}

|BD|sinA=|PD|=2b/√{[(a+1)^2+b^2][(a-1)^2+b^2]}

如果这两者是相等的,那么有(a^2+b^2)[(a+1)^2+b^2]-b^2=4b^2/[(a-1)^2+b^2]

所以,AE和PD是可以相等的,但是和AB、AC没有必然关系.因为A的横坐标a是决定AB和AC谁长谁短的决定因素.取一个a值就能得到一个相应的b值.

比如,令a=-1得b=√(2√2-2),此时就是AB<AC；

令a=0得b=√[(√17-1)/2],此时就是AB=AC；

令a>0情况也是如此,这儿随便举了,但是不能a≥1,那时候实数范围无解.

不相等，如果AB垂直于AC，几个点重合后就相等了

如图，过B作BI//DF交AC于I，过C作CJ//DE交AB于J。显然PEDF为平行四边形。
PE=DF=BI/2，DE=CJ/2。因为∠PHA=∠PGA=90°，所以A、G、P、H四点共圆，∠A=∠HPE=∠PED。
在△PDE中，由余弦定理得：PD=√(PE^2+DE^2-2PE•DEcos∠PED)=√(BI^2+CJ^2-2BI•CJcos∠A)/2...

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如图，过B作BI//DF交AC于I，过C作CJ//DE交AB于J。显然PEDF为平行四边形。
PE=DF=BI/2，DE=CJ/2。因为∠PHA=∠PGA=90°，所以A、G、P、H四点共圆，∠A=∠HPE=∠PED。
在△PDE中，由余弦定理得：PD=√(PE^2+DE^2-2PE•DEcos∠PED)=√(BI^2+CJ^2-2BI•CJcos∠A)/2=√[(ABsin∠A)^2+(ACsin∠A)^2-2AB•AC•(sin∠A)^2•cos∠A]/2=sin∠A•√(AB^2+AC^2-2AB•ACcos∠A)/2
因为√(AB^2+AC^2-2AB•ACcos∠A)=BC，所以PD=BC/2•sinA=BDsinA
本题转化为探究AE和BDsinA的值能否相等！！
这样是看不出来结果的，我们不妨转化成解析几何。为了简化令A(a,b)，B(-1,0)，C(1,0)，则D为坐标原点(0,0)。经过计算得：
|AE|=√{a^2+b^2-b^2/[(a+1)^2+b^2]}
|BD|sinA=|PD|=2b/√{[(a+1)^2+b^2][(a-1)^2+b^2]}
如果这两者是相等的，那么有(a^2+b^2)[(a+1)^2+b^2]-b^2=4b^2/[(a-1)^2+b^2]
所以，AE和PD是可以相等的，但是和AB、AC没有必然关系。因为A的横坐标a是决定AB和AC谁长谁短的决定因素。取一个a值就能得到一个相应的b值。
比如，令a=-1得b=√(2√2-2)，此时就是AB令a=0得b=√[(√17-1)/2]，此时就是AB=AC；
令a>0情况也是如此，这儿随便举了，但是不能a≥1，那时候实数范围无解。 不相等，如果AB垂直于AC，几个点重合后就相等了

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