作业帮在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n求数列{（n^2）/an}的前n项和Sn快快帮忙!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 07:42:15
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n求数列{（n^2）/an}的前n项和Sn快快帮忙!
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n
求数列{（n^2）/an}的前n项和Sn
快快帮忙!
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n求数列{（n^2）/an}的前n项和Sn快快帮忙!
首先我们找到 ｛an｝的通项公式
a(n+1)=2an+2^n
式子两边同除2^(n+1) ,得：
[a(n+1)]/2^(n+1)=(2an)/2^n+1/2 a1/2^1=1/2
这时可知｛an/2^n}是一个以1/2为首项,1/2为公差的等差数列,
所以：an/2^n=1/2+1/2*(n-1)
所以：an=n/2*2^n
代入式子得：（n^2）/an = （2n)/2^n =（2n)*(1/2)^n
这是一个等差数列与等比数列相乘的求和问题,有一个基本模式：
首先我们写出Sn的展开式：
Sn=(2*1)/2^1+(2*2)/2^2+(2*3)/2^3+……+[2*(n-1)]/2^(n-1)+(2*n)/2^n
这时,我们把式子乘以等比数列的公比1/2 :
1/2*Sn=(2*1)/2^2+(2*2)/2^3+(2*3)/2^4+……+[2*(n-1)]/2^n+(2*n)/2^(n+1)
这时一个观察出前式减后式可得一个等比和,
所以用前式减后式：
1/2*Sn=(2*1)/2^1+2（1/2^2+1/2^3+……+1/2^n)-(2*n)/2^(n+1)
此时,我们求和就很容易了,最终Sn=4-(2n+4)/2^n
a(n+1)=2an+2^n (两边同除以2^(n+1) )
a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2
a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1/2
所以an/2^n是以a1/2=1/2为首相d=1/2为公差的等差数列
an/2^n=1/2+(1/2)(n-1)=n/2
所以an=n*2^(n-1)
(n^2）/an=(n^2)/n*2^(n-1)