作业帮y=x(x+1)（x+2）（x+3）...(x+n)的导数求法,（详细）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/16 16:36:16
y=x(x+1)（x+2）（x+3）...(x+n)的导数求法,（详细）
y=x(x+1)（x+2）（x+3）...(x+n)的导数求法,（详细）
y=x(x+1)（x+2）（x+3）...(x+n)的导数求法,（详细）
记y(x)=xg(x),其中g(x)=(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n),有g(0)=n!
求导y'(x)=g(x)+xg'(x)
则y'(0)=g(0)=n!
两边取对数lny=lnx+ln(x+1)+...+ln(x+n)
两边对x求导数
y'/y=1/x+1/(x+1)+...+1/(x+n)
应该是求y'(0)吧,以下极限x->0
y'(0)=lim(y(x)-y(0))/x
=lim(x+1)（x+2）（x+3）...(x+n)
=n！
如果对上面直接求导，是很繁的，因为有n个积，要用到n次的分步积分，所以，采用对数，将积化为和，然后对lny 求导时记住y是x的函数，必须用到复合函数的求导法，
即：(lny)'=(1/y)*y' (说明：(lny)'中的1/y 是把y作为变量求自然对数的导数，而y又是x的函数，
所以，必须在乘以y对x的求导，这是根据复合函数的求导法)
所以，lny=lnx+ln(x+1)...
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如果对上面直接求导，是很繁的，因为有n个积，要用到n次的分步积分，所以，采用对数，将积化为和，然后对lny 求导时记住y是x的函数，必须用到复合函数的求导法，
即：(lny)'=(1/y)*y' (说明：(lny)'中的1/y 是把y作为变量求自然对数的导数，而y又是x的函数，
所以，必须在乘以y对x的求导，这是根据复合函数的求导法)
所以，lny=lnx+ln(x+1)+ln(x+2)+ln(x+3)+------+ln(x+n)
所以，(lny)'=[lnx+ln(x+1)+ln(x+2)+ln(x+3)+------+ln(x+n)]'
所以，(1/y)*y'=1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+1/(x+3)+------1/(x+n)
所以，y'=y[1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+1/(x+3)+------1/(x+n)]
即：y'=[x(x+1)(x+2)(x+3)-----(x+n)][1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+1/(x+3)+------1/(x+n)]
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