作业帮1、xf(x)+2f[(x-1)/(x+1)]=12、f[(x+1)/x]=(x^2+1)/x+1/x3、已知f(x)定义在正整数集上,且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 04:38:14
1、xf(x)+2f[(x-1)/(x+1)]=12、f[(x+1)/x]=(x^2+1)/x+1/x3、已知f(x)定义在正整数集上,且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求f(x)
1、xf(x)+2f[(x-1)/(x+1)]=1
2、f[(x+1)/x]=(x^2+1)/x+1/x
3、已知f(x)定义在正整数集上,且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求f(x)
1、xf(x)+2f[(x-1)/(x+1)]=12、f[(x+1)/x]=(x^2+1)/x+1/x3、已知f(x)定义在正整数集上,且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求f(x)
第一题确定没错?
如果没写错的话,那过程太复杂了,很可能做错
令 t = g(x) = (x-1)/(x+1) 则 x= -(t+1)/(t-1) ………①
可以发现 g(-1/x)= -(x+1)/(x-1) 与①式形式相同
所以 对 xf(x)+2f[(x-1)/(x+1)]=1 用 -1/x 代换x得
(-1/x)f(-1/x) + 2f[-(x+1)/(x-1)] = 1 ………②
对 xf(x)+2f[(x-1)/(x+1)]=1 用 -(x+1)/(x-1) 代换x得
-(x+1)/(x-1)f[-(x+1)/(x-1)] + 2f(x) = 1 ………③
②变型代入③消去f[-(x+1)/(x-1)]得
f(x)= 1/2 + (x+1)/[4(x-1)] + (x+1)/[4x(x-1)]f(-1/x) ………④
对④用-1/x 代换 x 得
f(-1/x)= 1/2 - (x-1)/[4(x+1)] + x(x-1)/[4(x+1)]f(x) ………⑤
⑤代入④得
f(x)= (1/15){ 2(x+1)(2x+1)/[x(x-1)] -1/x + 8 }
如果计算过程没出错的话应该就是这个结果
2、3楼上已经回答了
3、已知f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求f(x)
解析：f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy
令y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+x=f(x)+(x+1)
∴f(x+1)=f(x)+(x+1)
f(x)=f(x-1)+(x-1+1)=f(x-1)+x
全部展开
3、已知f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求f(x)
解析：f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy
令y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+x=f(x)+(x+1)
∴f(x+1)=f(x)+(x+1)
f(x)=f(x-1)+(x-1+1)=f(x-1)+x
f(x-1)=f(x-2)+(x-1)
….
f(2)=f(1)+2
∴f(x+1)=f(1)+2+3...+(x+1)=1+2+3+…+(x+1)
∴f(x)为首项是1，公差为1的等差数列前n项和
f(x)=(1+x)x/2
2、f[(x+1)/x]=(x^2+1)/x+1/x
已知f[(x+1)/x]=(x^2+1)/x^2+1/x,求f(x)的解析式。
解析：∵f[(x+1)/x]=(x^2+1)/x^2+1/x,其定义域为x≠0
设(x+1)/x=t==>x=1/(t-1) (t≠1)
则，(x^2+1)/x^2=1+1/x^2=1+(t-1)^2
∴f(t)=(t-1)^2+(t-1)+1=t^2-t+1
∴f(x)=x^2-x+1
收起