作业帮已知F1、F2是椭圆x2/4+y2=1的两个焦点,M是椭圆上的动点,求（1/丨MF1丨）+ （1/丨MF2丨）的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 06:20:17
已知F1、F2是椭圆x2/4+y2=1的两个焦点,M是椭圆上的动点,求（1/丨MF1丨）+ （1/丨MF2丨）的最小值.
已知F1、F2是椭圆x2/4+y2=1的两个焦点,M是椭圆上的动点,求（1/丨MF1丨）+ （1/丨MF2丨）的最小值.
已知F1、F2是椭圆x2/4+y2=1的两个焦点,M是椭圆上的动点,求（1/丨MF1丨）+ （1/丨MF2丨）的最小值.
设M点(xm,ym),满足椭圆方程：
xm^2/4+ym^2=1 ym^2=1-xm^2/4=(4-xm^2)/4 (1)
a^2=4,b^2=1,则c^2=a^2-b^2=4-1=3
两焦点的坐标为F1(√3,0),F2(-√3,0)
|MF1|=√[(xm-√3)^2+(ym-0)^2]=√[(xm-√3)^2+ym^2]
|MF2|=√[(xm+√3)^2+(ym-0)^2]=√[(xm+√3)^2+ym^2]
因为M在椭圆上,由椭圆的性质可知：
|MF1|+|MF2|=2a=2*2=4
(1/|MF1|)+(1/|MF2|)=(|MF1|+|MF2|)/(|MF1|*|MF2|)=4/(|MF1||MF2|)
|MF1||MF2|=√[(xm-√3)^2+ym^2] *√[(xm+√3)^2+ym^2]
=√{(xm-√3)^2(xm+√3)^2+[(xm+√3)^2+(xm-√3)^2]ym^2+ym^4}
=√[xm^4-6xm^2+9+(2xm^2+6)ym^2+ym^4] (将（1）代入)
=√[xm^4-6xm^2+9+(2xm^2+6)(4-xm^2)/4+(4-xm^2)/16]
=√[16xm^4-96xm^2+144+32xm^2-8xm^4+96-24xm^2+16-8xm^2+xm^4]/4
=√(9xm^4-96xm^2+256)/4=(16-3xm^2)/4
(1/|MF1|)+(1/|MF2|)=(|MF1|+|MF2|)/(|MF1|*|MF2|)=4/(|MF1||MF2|)
=4/[(16-3xm^2)/4]
=16/(16-3xm^2)
其值最小,要求16-3xm^2的值最大,其中-2