如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为AD,PC的中点.求证：PC⊥面BEF.求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 05:21:51

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为AD,PC的中点.求证：PC⊥面BEF.求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为AD,PC的中点.
求证：PC⊥面BEF.求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为AD,PC的中点.求证：PC⊥面BEF.求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
∵PA⊥平面ABCD,AB是斜线PB的射影,
BC⊥AB,
∴根据三垂线定理,BC⊥PB,
∴△PBC是RT△,
∵F是RT△PBC斜边的中点,
∴BF=PC/2,
根据勾股定理.PC^2=PA^2+AC^2,
AC^2=AB^2+BC^2,
AC=2√3,
PC=4,
BF=2,
∵PA=PB=2,PA⊥PB,
∴△PAB是等腰RT△,
PB=√2AB=2√2,
PB=BC=2√2,
∴△PBC是等腰RT△,
BF⊥PC,
PE=√6,CE=√6,
PE=CE,
∴△PEC是等腰△,
∵F是PC中点,
∴EF⊥PC,（等腰△三线合一）,
∵EF∩BF=F,
∴PC⊥平面BEF.
2、设底对角线AC∩BD=O,
连结FO和EO,延长EO交BC于M,连结FM,
∵FO是△PAC的中位线,
∴EF//PA,
∴EF⊥平面ABCD,
∵EM//AB,
PA∩AB=A,
EO∩EM=O,
∴平面PAB//平面EFM,
∴平面EFM和平面EFB所成二面角就是平面BEF与平面BAP夹角,
∵BM⊥EM,BM⊥FO,
∴BM⊥平面EFM,
△EFM是△EFB在平面EFM上的投影,
设二面角B-EF-M的平面角为θ,
S△EFM=S△BEF*cosθ,
EF=√（PE^2-PF^2)=√（6-4）=√2,
∵EF^2+BF^2=BE^2=6,
∴△BEF是RT△,
S△EFB=EF*BF/2=√2*2/2=√2,
S△EMF=EM*FO/2=2*1/2=1,
∴cosθ=1/√2=√2/2,
θ=45°,
∴平面BEF与平面BAP夹角为45度.

取PD中点G，由PA=AD得AG⊥PD，又CD⊥PD，所以AG⊥平面PCD，
因为EG∥AE且相等，
所以EF∥AG，
所以EF⊥平面PCD

全部展开

解(1)因为E,F分别为PB,PC的中点,
所以EF是三角形PBC的中位线
所以EF平行于BC
又ABCD为矩形，
所以BC平行于AD
又AD在平面PAD内
EF在平面PAD外
所以EF//平面PAD
(2)作EG垂直于AB交AB于G,
因为PA垂直于AB，EG垂直于AB，又PA,EG都在平面PAB内,
所以EG//PA,
又PG垂直于平面ABCD
所以EG垂直于平面ABCD
又PA=AB,PA垂直于AB,E为PB中点,PB=2
所以AB=二分之根号2,EG=四分之根号2
所以V=(AB×BC)/2×EG×1/3
太难打那个根号和数字（我手机党，输入法难调…）最后算出来是1/12

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