如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 18:51:30

如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.

如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=AC,∠ABD=60°,过D作ED⊥AD交AC于E,恰有DE平分∠BDC,试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
CD+BD=AC
证明：在△ABD外作射线AF,使∠DAF=∠DAC,延长BD交AF于F
      ∵DE⊥AC
      ∴∠EAD=90°
      又∵DE平分∠BDC
      ∴∠BDE=∠CDE=1/2∠BDE
      ∴∠ADC=90°+1/2∠BDE;
          ∠ADB=90°-1/2∠CDE=90°-1/2∠BDE
      ∵∠ADB+∠ADF=180°
      ∴∠ADF=180°-90°+1/2∠BDE
                    =90°+1/2∠BDE
      ∴∠ADC=∠ADF
      在△ADC和△ADF中
      ∠ADC=∠ADF
                 AD=AD
           ∠CAD=∠FAD
      ∴△ADC≌△ADF
      ∴CD=FD,AF=AC=AB
      ∵在△ABF中,AB=AF,∠ABF=60°
      ∴△ABF为等边三角形
   ∴BF=AB=AC
      ∵BF=BD+DF=BD+DC
      ∴CD+BD=AC

连接OD，因为点E与点O关于直线BC对称，所以∠OED=∠DOC
因为BC‖AO，所以∠AOB=∠OBC=35°
又因为点A与点D关于直线OB的对称，
所以∠AOB=∠DOB=35°
所以∠OED=∠DOC＝90°－2×30°＝30°