作业帮求极限 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)如图,尤其是使用洛比塔法则的部分.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 23:43:28
求极限 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)如图,尤其是使用洛比塔法则的部分.
求极限 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)
如图,尤其是使用洛比塔法则的部分.
求极限 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)如图,尤其是使用洛比塔法则的部分.
lim(x→0) 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{ln[x+√(1+x^2)]*ln(1+x)} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[x+√(1+x^2)]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[1-1+x+√(1+x^2)]} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*[x+√(1+x^2)-1]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x^2+x√(1+x^2)-x} (0/0)
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/[x+√(1+x^2)]*[1+x/√(1+x^2)]}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/√(1+x^2)}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)*(1+x)+√(1+x^2)*√(1+x^2)*(1+x)+x^2*(1+x)-√(1+x^2)*(1+x)}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)+(1+x^2)+x^2-√(1+x^2)} （(0/0)
=lim(x→0) {x/√(1+x^2)-1}/{2√(1+x^2)+2x^2/√(1+x^2)+4x-x/√(1+x^2)}
=lim(x→0) {x-√(1+x^2)}/{2(1+x^2)+2x^2+4x√(1+x^2)-x}
到这一步,看到分母为2,而分子为-1
因此极限为-1/2
其实知道ln（x+根号(1+x方)）的等价无穷小是x，和其导数为(根号(1+x方)）分之1就可以自己算了。很简单