已知向量m=(4cosx,-2sinπ/6),n=(sin(x+π/3),2cosπ/6),函数f(x)=m*n,x∈R求f（x）取最大值时的x值若函数g(x)=f(x+φ)是偶函数,0

已知向量m=(4cosx,-2sinπ/6),n=(sin(x+π/3),2cosπ/6),函数f(x)=m*n,x∈R求f（x）取最大值时的x值若函数g(x)=f(x+φ)是偶函数,0
已知向量m=(4cosx,-2sinπ/6),n=(sin(x+π/3),2cosπ/6),函数f(x)=m*n,x∈R
求f（x）取最大值时的x值
若函数g(x)=f(x+φ)是偶函数,0<φ<π/2,求g(x)的表达式

已知向量m=(4cosx,-2sinπ/6),n=(sin(x+π/3),2cosπ/6),函数f(x)=m*n,x∈R求f（x）取最大值时的x值若函数g(x)=f(x+φ)是偶函数,0
m*n=4cosxsin(x+π/3)-2sinπ/6*2cosπ/6
=4cosx（2分之1sinx+2分之根号3cosx）-根号3
=2cosxsinx+2倍根号3cosx的平方-根号3（然后利用二倍角公式）
=sin2x+根号3倍cos2x（然后利用合一变形）
=2sin(2x+π/3)
所以当2x+π/3=π/2+2kπ时,f（x）取到最大值
所以x+=π/12+kπ（k取整数）
若函数g(x)=f(x+φ)是偶函数,0<φ<π/2,则f(x+φ)=2cos2x
f(x+φ)=2sin(2（x+φ）+π/3)=2sin(2x+2φ+π/3)（利用诱导公式）
所以2φ+π/3=π/2
所以φ=π/12

f(x)=4cosxsin(x+π/3)-2sinπ/6*2cosπ/6
=4cosx(sinxcosπ/3+sinπ/3cosx)-4*1/2*1/2
=4cosx(1/2sinx+√3/2cosx)-1
=2sinxcosx+2√3cosxcosx-1
=sin2x+√3(1-cos2x)-1
...

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f(x)=4cosxsin(x+π/3)-2sinπ/6*2cosπ/6
=4cosx(sinxcosπ/3+sinπ/3cosx)-4*1/2*1/2
=4cosx(1/2sinx+√3/2cosx)-1
=2sinxcosx+2√3cosxcosx-1
=sin2x+√3(1-cos2x)-1
=sin2x-√3cos2x+√3-1
=2sin(2x-π/3)+√3-1
因为g(x)为偶函数
所以g(x)=g(-x)
sin(2x-π/3+φ）=cos(2x)
所以φ-π/3=-π/2
φ=π/6
(0<φ<π/2)
故φ-π/3=π/2舍去
所以g(x)=2cos2x+√3-1

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