关于抛物线和椭圆的数学题.抛物线Y^2=X上异于坐标原点O的两个不同动点A、B,且AO垂直BO,求三角形AOB的重心G的轨迹方程.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 06:17:33

关于抛物线和椭圆的数学题.抛物线Y^2=X上异于坐标原点O的两个不同动点A、B,且AO垂直BO,求三角形AOB的重心G的轨迹方程.
关于抛物线和椭圆的数学题.
抛物线Y^2=X上异于坐标原点O的两个不同动点A、B,且AO垂直BO,求三角形AOB的重心G的轨迹方程.

关于抛物线和椭圆的数学题.抛物线Y^2=X上异于坐标原点O的两个不同动点A、B,且AO垂直BO,求三角形AOB的重心G的轨迹方程.
令△AOB的重心坐标为(x,y),AB的中点为D.
设点A的坐标为(m^2,m),得:AO的斜率为1/m.
∵AO⊥BO,∴BO的斜率为-m,∴BO的方程是y=-mx.
联立:y=-mx、y^2=x,消去y,得:m^2x^2=x,∴x1=0,x2=1/m^2,∴y1=0,y2=-1/m.
∴点B的坐标是(1/m^2,-1/m).
∴由中点坐标公式,得:AB中点D的坐标是((m^2+1/m^2)/2,(m-1/m)/2).
∵G是△AOB的重心,∴OG/GD=2.
∴由定比分点坐标公式,有:x=[0+(m^2+1/m^2)]/3、 y=[0+(m-1/m)]/3,
∴m-1/m=3y、 (m-1/m)^2+2=3x, 消去参数m,得:(3y)^2+2=3x,
∴y^2=(1/9)(x-2/3).
即:△AOB的重心G的轨迹方程是抛物线y^2=(1/9)(x-2/3).

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