作业帮洛朗级数圆环域的问题为什么因为圆环域不同,F(Z)展开的方式（化简）就不同?有没有什么规律（在哪些圆环域里,该提什么项出来）···
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 19:44:28
洛朗级数圆环域的问题为什么因为圆环域不同,F(Z)展开的方式（化简）就不同?有没有什么规律（在哪些圆环域里,该提什么项出来）···
洛朗级数圆环域的问题
为什么因为圆环域不同,F(Z)展开的方式（化简）就不同?
有没有什么规律（在哪些圆环域里,该提什么项出来）···
洛朗级数圆环域的问题为什么因为圆环域不同,F(Z)展开的方式（化简）就不同?有没有什么规律（在哪些圆环域里,该提什么项出来）···
你说的应该是类似 f（z）= 1/[z*（z-2）] 在 0
你说的应该是类似 f（z）= 1/[z*（z-2）] 在 0<|z|<2 和 |z|>2 这样的在不同区域的展开式吧？如果是这样的话说，我可以告诉你原因，当然其他的情况也是类似的。
对于 f（z）= 1/[z*（z-2）] 的展开其实是利用等比数列的展开式进行展开的，因此只要将需要展开的部分化为 1/（1-t）的形式 其中必须有 |t|<1 ，明白了这一点剩下的就简单多了。
在 0...
全部展开
你说的应该是类似 f（z）= 1/[z*（z-2）] 在 0<|z|<2 和 |z|>2 这样的在不同区域的展开式吧？如果是这样的话说，我可以告诉你原因，当然其他的情况也是类似的。
对于 f（z）= 1/[z*（z-2）] 的展开其实是利用等比数列的展开式进行展开的，因此只要将需要展开的部分化为 1/（1-t）的形式 其中必须有 |t|<1 ，明白了这一点剩下的就简单多了。
在 0<|z|<2 这个圆环内需要展开的是部分是 1/（z-2），要想顺利展开这个式子只要化为 1/[2(z/2-1）] ，这样就能保证 |z/2|<1 ，于是 f（z）就可以顺利的进行展开展开式的结果为 （-1/2z）*[1+（z/2）+(z/2)^2+……] 。
在 |z|>2 的区域要想得到展开式将 1/（z-2）化为 1/[z*(1-2/z)]的形式，这样以来 |2/z|<1 ,式子可以直接进行展开了。展开式的最终结果是 (1/z^2)*[1+(2/z)+(2/z)^2+……] 。
仔细体会一下吧，反正这样类似的展开式展开都是要变成 1/（1-t） （|t|<1）的形式才能继续进行下去的，所以解决问题的关键就是如何将要展开的部分化为上述形式即可，明白了上述的原理后究竟要从表达式中提什么项出来也就不是什么问题了。
在举一个例子： 1/[z*(z-2)*(z-3)] ,这个式子与上一个差不多，但是对于这式子在 0<|z|<2 的圆环内展开就有所不同了。这个式子要展开的部分1/[(z-2)*(z-3)] 那么要想得到展开式的话提取 2 这个因子对1/（z-3）显然是行不通的，于是我们只能对他提取公因子 3 ，如此操作之后就可以继续进行展开了。
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