作业帮用归纳法证明：（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+.+[(2n-1)(2n)²-2n(2n+1)²]=-n×（n+1）×（4n+3）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:48:35
用归纳法证明：（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+.+[(2n-1)(2n)²-2n(2n+1)²]=-n×（n+1）×（4n+3）
用归纳法证明：（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+.+[(2n-1)(2n)²-2n(2n+1)²]=-n×（n+1）×（4n+3）
用归纳法证明：（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+.+[(2n-1)(2n)²-2n(2n+1)²]=-n×（n+1）×（4n+3）
n = 1 时
左端 = 1×2²-2×3² = -14
右端 = -1×(1+1)×(4×1+3) = -14
命题成立
设 n = k 时成立
（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+.+[(2k-1)(2k)²-2k(2k+1)²]=-k×（k+1）×（4k+3）
n=k+1 时
左端 =
（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+.+ [(2k-1)(2k)²-2k(2k+1)²] + [(2k+1)(2k+2)²-2（k+1)(2k+3)²]
= -k×（k+1）×（4k+3）+ [(2k+1)(2k+2)²-2(k+1)(2k+3)²]
= -k×（k+1）×（4k+3）+ 2(k+1)[2(2k+1)(k+1)-(2k+3)²]
= -k×（k+1）×（4k+3）+ 2(k+1)[4k² +6k + 2 -4k²-12k - 9]
= -k×（k+1）×（4k+3）- 2(k+1)(6k + 7)
= -(k+1)×[k×(4k+3) + 2(6k+7)]
= -(k+1)×[4k²+15k+14)
= -(k+1)×(k+2)×(4k+7)
右端 = -(k+1)×[(k+1）+1]×[4(k+1)+3]
= -(k+1)×(k+2)×(4k+7)
左端 = 右端
所以 n = k+1 时 命题成立
因此 原命题成立
(1)当n=1时结论成立
(2)设n=k时结论成立
即：（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+......+[(2k-1)(2k)²-2k(2k+1)²]=-k×（k+1）×（4k+3）
(3)当n=k+1时，
原式带入=-k×（k+1）×（4k+3）+[(2k+1)(2k+2)²...
全部展开
(1)当n=1时结论成立
(2)设n=k时结论成立
即：（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+......+[(2k-1)(2k)²-2k(2k+1)²]=-k×（k+1）×（4k+3）
(3)当n=k+1时，
原式带入=-k×（k+1）×（4k+3）+[(2k+1)(2k+2)²-(2k+2)(2k+3)²]=.....=
-(n+1)(n+2)(4n+7)
由归纳法命题得证
收起
(1)n=1时结论显然成
(2)设n=k时结论成立
即：（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+......+[(2k-1)(2k)²-2k(2k+1)²]=-k×（k+1）×（4k+3）
(3)当n=k+1时，
结论左式=-k×（k+1）×（4k+3）+[(2k+1)(2k+2)²-(2...
全部展开
(1)n=1时结论显然成
(2)设n=k时结论成立
即：（1×2²-2×3²）+（3×4²—4×5²）+......+[(2k-1)(2k)²-2k(2k+1)²]=-k×（k+1）×（4k+3）
(3)当n=k+1时，
结论左式=-k×（k+1）×（4k+3）+[(2k+1)(2k+2)²-(2k+2)(2k+3)²]
(打开括号后结果肯定与-(n+1)(n+2)(4n+7)相同，就是计算麻烦)
由归纳法命题得证
收起
因为是求证的题目，要证明的 东西 必然成立。
所以 一楼和二楼 等于没做啊。
楼主关键是想知道被他们省略的中间过程吧 ，比如二楼 的 省略号 “=.....= ” 是什么。