作业帮曲面积分问题,急这个问题，请不用高斯来解答。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/27 17:06:33
曲面积分问题,急这个问题，请不用高斯来解答。
曲面积分问题,急
这个问题，请不用高斯来解答。
曲面积分问题,急这个问题，请不用高斯来解答。
用向量点积法也挺容易的：
∫∫Σ (y² - z) dydz、Σ：z = √(x² + y²)、0 ≤ z ≤ h
= - ∫∫D [ - (y² - z) * x/√(x² + y²) - 0 + 0] dxdy
= ∫∫D [y² - √(x² + y²)] * x/√(x² + y²) dxdy
已经注意到上面的x致使被积函数为奇函数,而且积分域D：0 ≤ x² + y² ≤ h²关于x和y轴都对称
所以积分式结果 = 0
若用最基本的方法,也是最麻烦的.需要分前后侧.
前侧取( + )：x ≥ 0、x = √(z² - y²)、设为Σ(+)
∫∫Σ(+) (y² - z) dydz
= ∫∫D (y² - z) dydz
后侧取( - )：x ≤ 0、x = - √(z² - y²)、设为Σ(-)
∫∫Σ(-) (y² - z) dydz
= - ∫∫D (y² - z) dydz
所以总结果∫∫Σ (y² - z) dydz = ∫∫Σ(+) (y² - z) dydz + ∫∫Σ(-) (y² - z) dydz
= ∫∫D (y² - z) dydz - ∫∫D (y² - z) dydz = 0
高斯定理是最容易的。因为被积函数与x无关。
当然也可以转化为二重积分做。
原式=∫∫（y^2-(x^2+y^2)^(0.5))*(x/sqrt.(x^2+y^2))dxdy,区域是xoy平面内的圆域。记x^2+y^2=r^2
=∫∫(xy^2/r)dxdy ，
用极坐标变换积出为0。还不懂的话可以追问