作业帮问一道立体几何题已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 04:46:55
问一道立体几何题已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于多少?
问一道立体几何题
已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于多少?
问一道立体几何题已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于多少?
作DE⊥BC于E
∵α⊥β,β∩β=l,AC⊥l
∴AC⊥β
∴面ABC⊥β
∴(AC⊥BC,)AC⊥DE
又DE⊥BC
∴DE⊥面ABC
∴DE就是D到面ABC的距离
∵AC=1,AB=2
∴BC=√3
又BD=1
∴CD=√2
∵Rt△CDE∽Rt△CBD
∴DE/BD=CD/CB
DE=√2÷√3=√6/3
即D到平面ABC的距离为√6/3
解析：直二面角的话，其实BD是垂直于α平面的（如果你不相信，可以过B点作平面α的垂线，垂足为另一点H，然后连接DH，根据三垂线定理，直线l必然垂直于HD，从而角BDH就是二面角，为90度，但是三角形BDH里角BHD也是直角，矛盾了，所以H点必然和D点重合）。
同理也有AC垂直于平面β。这样的话，根据勾股定理，
BC = sqrt(AB^2 - AC^2) = sqrt(3);
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解析：直二面角的话，其实BD是垂直于α平面的（如果你不相信，可以过B点作平面α的垂线，垂足为另一点H，然后连接DH，根据三垂线定理，直线l必然垂直于HD，从而角BDH就是二面角，为90度，但是三角形BDH里角BHD也是直角，矛盾了，所以H点必然和D点重合）。
同理也有AC垂直于平面β。这样的话，根据勾股定理，
BC = sqrt(AB^2 - AC^2) = sqrt(3);
AD = sqrt(AB^2 - BD^2) = sqrt(3)，
三角形ABC的面积为S1 = sqrt(3)/2，三角形ACD的面积为S2 = sqrt(2)/2，根据等体积的原理，设D到平面ABC的距离为h，那么有：
h*S1 = S2*BD
于是h = S2/S1 = sqrt(6)/3.
答案：距离为sqrt(6)/3
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