作业帮P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/20 02:45:01
P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长.
P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长.
P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长.
以A为中心作△PAK使得△APB的AB边位置与AC重合,
AP=AK=2 ∠PAK=60°
即 △APK为正三角形
∴∠AKP=60°
△PKC三条边长分别为PK=根号3,KC=3,PC=2倍的根号3的三角形
（2根号3）^2=3^2+(根号3)^2
即 PC^2=KC^2+PK^2 且PC=2PK
∴ ∠PKC=90° ∠CPK=60°
∴ ∠CPA=60°+60°=120°
故 ∠APB=∠AKC=60°+90°=150°
∴ ∠CPB=360°-∠CPA - ∠APB =360°-120°-150°=90°
∴ BC=根号【PC^2+PB^2】=根号【（2根号3）^2+3^2】=根号21
即 三角形ABC的边长的三边长=3x根号21
把△APC以A点顺时针旋转60°，AC与AB边重合，形成新三角形AP'B，连接PP'，PA=P'A，∠PAP'=60°，则△APP'为正三角形，PP'=√3，P'B=2√3，PB=3，(PP')²+PB²=(P'B)²，△PP'B为直角△，∠PP‘B=90°，∠APB=∠PP‘B+∠APP'=90°+60°=150°，由余弦定理得：AB²=PA²+...
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把△APC以A点顺时针旋转60°，AC与AB边重合，形成新三角形AP'B，连接PP'，PA=P'A，∠PAP'=60°，则△APP'为正三角形，PP'=√3，P'B=2√3，PB=3，(PP')²+PB²=(P'B)²，△PP'B为直角△，∠PP‘B=90°，∠APB=∠PP‘B+∠APP'=90°+60°=150°，由余弦定理得：AB²=PA²+PB²-2PAPBcos150°=3+9+2√3*3*√3/2=21，AB=√21，三角形ABC的边长=3√21。
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