作业帮证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 06:44:38
证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上
证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上
证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上
很简单啊.
如图：ABCD为一四边形,其对角线相互垂直.a、b、c、d为四条边的中点.
step1：按顺序连接abcd,根据三角形中位线定理,有ad = BD/2,且ad//BD;bc=BD/2,且bc//BD,即ad平行且等于bc,同理ab平行且等于cd.证明了abcd一个平行四边形.
step2.由于bc评选员BD,ab平行于AC.且AC与BD垂直.所以我们知道ab垂直于BD,bc垂直于AC.一个四边形中已经有三个角为90度了,所以∠abc= 90度.同理∠bcd、∠cda、∠dab均为90度.
step3.根据以上两条,证明四边形abcd为矩形(长方形).矩形的对角线等长且平分.
step4.以矩形abcd的对角线为中心,到四个顶点a、b、c、d的长度均相等,肯定就是在一个圆上.得证.
设对角线互相垂直的四边形ABCD，AC⊥BD，设AB、BC、CD、DA的各边中点分别是E、、FG、H，考察△DAC，∵H、G分别是DA、DC中点，∴由中位线定理得：HG∥AC，同理得：EF∥AC，∴HG∥AC∥EF，同理HE∥DB∥GF，而AC⊥DB，∴HG⊥HE，∴四边形EFGH是矩形，∴EFGH四点在同一个圆上，且圆心就是矩形对角线交点。...
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设对角线互相垂直的四边形ABCD，AC⊥BD，设AB、BC、CD、DA的各边中点分别是E、、FG、H，考察△DAC，∵H、G分别是DA、DC中点，∴由中位线定理得：HG∥AC，同理得：EF∥AC，∴HG∥AC∥EF，同理HE∥DB∥GF，而AC⊥DB，∴HG⊥HE，∴四边形EFGH是矩形，∴EFGH四点在同一个圆上，且圆心就是矩形对角线交点。
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