作业帮点A,C,E在同一直线上,三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形,M,N分别为AD,BE的中点,求证：CMN是等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 20:46:34
点A,C,E在同一直线上,三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形,M,N分别为AD,BE的中点,求证：CMN是等边三角形
点A,C,E在同一直线上,三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形,M,N分别为AD,BE的中点,
求证：CMN是等边三角形
点A,C,E在同一直线上,三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形,M,N分别为AD,BE的中点,求证：CMN是等边三角形
解析法 以c为原点CE为x轴 设D(a,√3a) E(-b,√3b)
则A（-2b,0）E(2a,0) 所以M((a-2b)/2,√3/2 a) N((2a-b)/2,√3/2 b)
所以CM^2=CN^2=MN^2 即CM=CN=MN 所以⊿CMN是等边三角形
先证明三角形ACD 和三角形BCE 全等
所以∠1等于∠2
中线CM = CN
证明AMC 和 BNC全等
∠3等于∠4
所以∠MCN=60°
就会了啦
证明：
∵△ABC和△CDE为等边三角形
所以AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACB+∠DCE+∠BCD=180°，所以∠BCD=60°
∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD
∠ACD=∠BCE
在△BCE和△ACE中， AC=BC
...
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证明：
∵△ABC和△CDE为等边三角形
所以AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACB+∠DCE+∠BCD=180°，所以∠BCD=60°
∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD
∠ACD=∠BCE
在△BCE和△ACE中， AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE
所以△BCE≌△ACE（SAS)
所以∠EBC=∠DAE,BE=AD
∵M,N为AD,BE的中点，所以BN=NE=二分之一的BE，AM=MD=二分之一的AD
所以BN=AM
在△AMC和△BNC中，BN=AM
∠EBC=∠DAE
AC=BC
所以△AMC≌△BNC（SAS)
所以CM=CN,∠ACM=∠BCN
∵∠ACM+∠MCB=∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°
所以△CMN为等边三角形
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