请用欧氏几何证明三点共线(图见空间)证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/06 06:45:14
请用欧氏几何证明三点共线(图见空间)证明
请用欧氏几何证明三点共线(图见空间)
证明
请用欧氏几何证明三点共线(图见空间)证明
用梅涅劳斯证明:(见空间)
这个是射影几何里的帕普斯定理
随便百度一下就有
也有初等的证明,有点麻烦
欧拉线的证法1 作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC ∴ DA‖...
全部展开
欧拉线的证法1 作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC ∴ DA‖CH,DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点,O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG/GM=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上 如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可. 欧拉线的证法2 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。 连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心. 则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC 向量OG=(向量OA+向量OB+向量OC)/3, 向量OG*3=向量OH 所以O、G、H三点共线
收起
哪三点?