作业帮一道微积分全微分小题求助.z=1. (x^2+y^2)[1/√(x^2+y^2)]（x^2+y^2≠0) 2. 0(x^2+y^2=0)问（1）函数z（x,y)在（0,0）处是否可微? （2）函数z（x,y）在（0,0）处偏导数是否连续?我只知道函数在一点处
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 12:00:13
一道微积分全微分小题求助.z=1. (x^2+y^2)[1/√(x^2+y^2)]（x^2+y^2≠0) 2. 0(x^2+y^2=0)问（1）函数z（x,y)在（0,0）处是否可微? （2）函数z（x,y）在（0,0）处偏导数是否连续?我只知道函数在一点处
一道微积分全微分小题求助.
z=1. (x^2+y^2)[1/√(x^2+y^2)]（x^2+y^2≠0)
2. 0(x^2+y^2=0)
问（1）函数z（x,y)在（0,0）处是否可微?
（2）函数z（x,y）在（0,0）处偏导数是否连续?
我只知道函数在一点处偏导数连续可以推出其在该点处可微,但是除了证明在函数在该点偏导数连续还有什么其他方法证明函数可微啊?
一道微积分全微分小题求助.z=1. (x^2+y^2)[1/√(x^2+y^2)]（x^2+y^2≠0) 2. 0(x^2+y^2=0)问（1）函数z（x,y)在（0,0）处是否可微? （2）函数z（x,y）在（0,0）处偏导数是否连续?我只知道函数在一点处
如果不能用偏导数连续来证明可微,则只能用可微的定义来证.
你确定题目没写错吗?(x²+y²)[1/√(x²+y²)]=√(x²+y²)
本需要先求z(x,y)在（0,0）的两个偏导数,这个你应该会吧,结果是0
可微的定义Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)
1、f(Δx,Δy)-f(0,0)-AΔx-BΔy 由于两个偏导数为0,则A=0,B=0
=√(Δx²+Δy²)=ρ
显然不是ρ的高阶无穷小,因此f(x,y)在(0,0)不可微.
2、dz/dx=2x/√(x²+y²)
lim [x-->0,y-->0] 2x/√(x²+y²)
沿y=kx趋于(0,0)
=lim [x-->0] 2x/√(x²+k²x²)
=2/√(1+k²)
结果与k有关,因此2x/√(x²+y²)在(0,0)极限不存在,则2x/√(x²+y²)在（0,0）不连续,所以z(x,y)在（0,0）的一阶偏导数不连续.