求二阶常系数非齐次微分方程的通解,上图

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 18:13:59

求二阶常系数非齐次微分方程的通解,上图
求二阶常系数非齐次微分方程的通解,上图

求二阶常系数非齐次微分方程的通解,上图
令y' = v,y'' = v'
y'' - 1/x · y' = xe^x
v' - v/x = xe^x,e^∫ - 1/x dx = e^- ln|x| = 1/x
v'/x - v/x² = e^x
(v/x)' = e^x
v/x = ∫ e^x dx = e^x + C
y' = xe^x + Cx
y = ∫ xe^x dx + C∫ x dx = xe^x - ∫ e^x dx + Cx²/2 = xe^x - e^x + Cx²/2 + D
y = (x - 1)e^x + Ex² + D
C,D,E均为任意常数,E = C/2

设u=y',则y''=u',
该方程可以化为一个一阶线性齐次方程:
u'-u/x=xe^(x)
直接套用公式可以得到
u=x(C+e^(x))
积分得到y=xe^(x)-e^(x)+C1x²/2+C2
其中C1,C2为任意常数.

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