已知两个正变量X,Y满足X+Y=4,则使不等式1/X+4/Y>=M恒成立的实数M的取值范围是?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 00:26:48

已知两个正变量X,Y满足X+Y=4,则使不等式1/X+4/Y>=M恒成立的实数M的取值范围是?
已知两个正变量X,Y满足X+Y=4,则使不等式1/X+4/Y>=M恒成立的实数M的取值范围是?

已知两个正变量X,Y满足X+Y=4,则使不等式1/X+4/Y>=M恒成立的实数M的取值范围是?
1换成(x+y)/4
4换成x+y
再用基本不等式
答案是M小于等于9/4

1/X+4/Y=(X+Y)/4X+(X+Y)/Y=1/4+Y/4X+X/Y+1
>=5/4+2√(Y/4X)(X/Y)=9/4
所以M<=9/4

法1
柯西不等式
(x+y)(1/x+4/y)>=(1+2)^2=9
(1/x+4/y)>=9/4
M<=9/4
法2
1/x+4/y=(x+y)/4x+(x+y)/y=1/4+y/4x+x/y+1
>=5/4+2√(y/4x)(x/y)=9/4
M<=9/4

应该是全体实数吧,x越趋近0,1/x越趋近于正无穷