作业帮e^(1+y)t*sint的从0到正无穷大的定积分怎么会是1/1+(1+y)^2,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 06:47:11
e^(1+y)t*sint的从0到正无穷大的定积分怎么会是1/1+(1+y)^2,
e^(1+y)t*sint的从0到正无穷大的定积分怎么会是1/1+(1+y)^2,
e^(1+y)t*sint的从0到正无穷大的定积分怎么会是1/1+(1+y)^2,
先求不定积分：
∫ e^[(1+y)t] * sint dt
z = 1+y,只是简化常数项,不包括自变数t
= ∫ e^zt * sint dt
= -∫ e^zt dcost
= -e^zt * cost + z*∫ cost * e^zt dt,分部积分法
= -e^zt * cost + z*∫ e^zt dsint
= -e^zt * cost + z*e^zt * sint - z²*∫ sint * e^zt dt,分部积分法,后移项
(1+z²)∫ e^zt * sint dt = z*e^zt * sint - e^zt * cost = e^zt * (z*sint - cost)
∫ e^zt * sint dt = e^zt * (z*sint - cost) / (1+z²) + c,之后代回常数项变换
∫ e^[(1+y)t] * sint dt = e^[(1+y)t] * [(1+y)sint - cost] / [1+(1+y)²] + c'
定积分：将定积分∫(a->b) f(t) dt = lim(t->b) F(t) - lim(t->a) F(t)化为极限计算
∫(0->inf) e^[(1+y)t] * sint dt
= 1/[1+(1+y)²] * {lim(t->inf) e^[(1+y)t] * [(1+y)sint - cost] - lim(t->0)e^[(1+y)t] * [(1+y)sint - cost]}
= 1/[1+(1+y)²] * [0 - (-1)]
= 1/[1+(1+y)²]