作业帮设A是2阶实方阵.齐次线性方程组(A-E)X=0,(2A+6E)X=0均有非零解,则行列式|A-A^-1+E|=?最后是求A减A逆再加E,老师说由方程组求得两个特征值一个是1,一个是-3,然后再代入要求的行列式中就行了.我想问
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 11:39:17
设A是2阶实方阵.齐次线性方程组(A-E)X=0,(2A+6E)X=0均有非零解,则行列式|A-A^-1+E|=?最后是求A减A逆再加E,老师说由方程组求得两个特征值一个是1,一个是-3,然后再代入要求的行列式中就行了.我想问
设A是2阶实方阵.齐次线性方程组(A-E)X=0,(2A+6E)X=0均有非零解,则行列式|A-A^-1+E|=?
最后是求A减A逆再加E,老师说由方程组求得两个特征值一个是1,一个是-3,然后再代入要求的行列式中就行了.我想问代入之后怎么做啊,而且为什么特征值能带入阿,根据什么定理呢?
设A是2阶实方阵.齐次线性方程组(A-E)X=0,(2A+6E)X=0均有非零解,则行列式|A-A^-1+E|=?最后是求A减A逆再加E,老师说由方程组求得两个特征值一个是1,一个是-3,然后再代入要求的行列式中就行了.我想问
题：设A是2阶实方阵.齐次线性方程组(A-E)X=0,(2A+6E)X=0均有非零解,则行列式|A-A^-1+E|=?
一、
齐次线性方程组(A-E)X=0有非零解
即说明存在非零向量X使得 AX=EX=1*X,即A有特征值1,对应于特征向量X
同理,由(2A+6E)X=0有非零解A有特征值-3
二、
命题3：（证明见后）
若方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时,f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
依命题3,A有特征值k, 则矩阵f(A)=A-A^(-1)+E有特征值f(k)=k-1/k+1
于是本题中,A-A^(-1)+E的特征值为 1-1/1+1=1, -3-1/(-3)+1=-7/3
命题4：对方阵A的特征多项式为f(λ)=|λE-A|,则|A|为f(λ)=0的各个根的乘积.
证：f(0)=|0*E-A|=|-A|=(-1)^n*|A|,故|A|=(-1)^n*f(0).
由一元n次方程的韦达定理,此即为各个根的乘积.
注：f(λ)=0的根,叫做方阵A的特征根,或特征值.
由命题4,|A-A^(-1)+E|=1*(-7/3)=-7/3.
此即所求.
注释：以下命题1,2是为证明命题3.
命题1：k为矩阵A的非零特征值,则k的负一次幂是A逆的特征值对吗?
答：在前提A可逆之下,此命题成立.否则,视A逆为广义逆,估计也成立,我未加严格论证.
我们这里设A可逆.
命题1证明如下：
设方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,即有Aξ=kξ,故Eξ=A^(-1)*kξ,故A^(-1)*ξ=1/k * ξ
命题一得证.
命题2：方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,f(A)是关于A的多项式,则：
f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题2之证明：设A的特征值k对应于特征向量ξ,即有Aξ=kξ
故AAξ=kAξ=k*kξ,递推得 A^nξ=k^nξ
同理 f(A)ξ=f(k)ξ.得征.
依命题1,命题2,有命题3：
若方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时,f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).