若a-b/a+b是不等于1的有理数,求证a/b是有理数急a/b是有理数的意思是结果也是有理数。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 04:52:25
若a-b/a+b是不等于1的有理数,求证a/b是有理数急a/b是有理数的意思是结果也是有理数。
若a-b/a+b是不等于1的有理数,求证a/b是有理数
急
a/b是有理数的意思是结果也是有理数。
若a-b/a+b是不等于1的有理数,求证a/b是有理数急a/b是有理数的意思是结果也是有理数。
显然a不为0,1;b不为0
要证a/b是有理数,
即证 1.a,b都是无理数且a=kb(k是不为零的有理数);
或2.a,b都是有理数
若是情况1,则a-b/a+b=(k-1/k+1)b是无理数或1,与题矛盾,
所以假设“a,b都是无理数且a=kb(k是不为零的有理数)”不成立;
下证a,b都是有理数:
(反证法)
若a,b均无理,且不成比例关系,则a-b/a+b是无理数,与题矛盾
若a有理,b无理,=a+(1-1/a)b,是无理数或1,与题矛盾
若a无理,b有理,则a-b/a+b=(a-b/a)+b是无理数,与题矛盾
综上,要满足“a-b/a+b是不等于1的有理数”,只可能是a,b均为有理数且a不为0或1,b不为0,即证得a/b是有理数.
a-b/a+b不等于1,则b不等于0,a/b有意义;
令a-b/a+b=p,由已知p为有理数;
a/b=(1+p)/(1-p),有理数的四则运算仍为有理数,
证毕。
(a-b)/(a+b)+1=2a/(a+b)有理
(2a/(a+b))/2=a/(a+b)有理
倒数(a+b)/a有理
分解为1+b/a
减1 b/a有理
倒数 a/b有理
按有理数的定义,因(a-b)/(a+b)是有理数
则必存在整数m,n,使得(a-b)/(a+b)=m/n 成立
所以:a/b=(m+n)/(m-n)
因m+n,m-n是整数,
所以:a/b是有理数
设a-b/a+b=x
a-b=x(a+b)
a-xa=b+xb
a(1-x)=b(1+x)
a/b=(1+x)/(1-x)
因为x是有理数
所以(1+x)/(1-x)也是有理数
即a/b是有理数