作业帮T(0) = T(1) = 1T(k) = 1 + T(k-2)请用k表示T(k),
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 22:09:27
T(0) = T(1) = 1T(k) = 1 + T(k-2)请用k表示T(k),
T(0) = T(1) = 1
T(k) = 1 + T(k-2)
请用k表示T(k),
T(0) = T(1) = 1T(k) = 1 + T(k-2)请用k表示T(k),
T(2)=1+T(0)
=1+1
=2
T(3)=1+T(1)
=2
T(4)=1+T(2)
=3
T(5)=1+T(3)
=3
则数列为:
1,2,2,3,3,4,4,...
观察可得:
T(1)-T(0)=0
T(2)-T(1)=1
T(3)-T(2)=0
T(4)-T(3)=1
T(5)-T(4)=0
则:
T(1)-T(0)=[1+(-1)^1]/2
T(2)-T(1)=[1+(-1)^2]/2
T(3)-T(2)=[1+(-1)^3]/2
T(4)-T(3)=[1+(-1)^4]/2
T(5)-T(4)=[1+(-1)^5]/2
...
T(k)-T(k-1)=[1+(-1)^k]/2
将上式相加,得:
T(k)-T(0)
=[1+(-1)^1]/2+[1+(-1)^2]/2+[1+(-1)^3]/2+...+[1+(-1)^k]/2
=[k/2]+(1/2)[(-1)^1+(-1)^2+...+(-1)^k]
=k/2+(1/2)*{(-1)*[1-(-1)^k]/[1-(-1)]}
=k/2-1/4*[1-(-1)^k]
=k/2+(1/4)*(-1)^k-1/4
=(1/4)*(-1)^k+(2k-1)/4
则有:
T(k)=[(1/4)*(-1)^k+(2k-1)/4]+T(0)
=(1/4)*(-1)^k+(2k+3)/4
则:T(k)=(1/4)*(-1)^k+(2k+3)/4
我手机不怎么好发~有空发信息给你~
先推出一些值出来：
T(0)=1
T(1)=1
T(2)=1+T(0)=2
T(3)=1+T(1)=2
T(4)=1+T(2)=3
T(5)=1+T(3)=3
.
.
由此可以看出
当k为奇数时 T(k)=T(k-1) 并且T(k)=k-(k-1)/2
当K为偶数时 T(k)=1+k/2
将之推广到整个整数空间 也是成立的
T0 = T1 = 1
T2 = 1+T0 = 2
T3 = 1+T1 = 2
T4 = T5 = 3
T6 = T7 = 4
...
所以
T(k) = k/2+1, k为偶数
T(k) = (k+1)/2, k为奇数
用数学归纳法
T(k)=1+T(k-2) T(k-1)=1+T(k-3)
T(k-2)=1+T(k-4) T(k-3)=1+T(k-5)
T(k-4)=1+T(k-6) T(k-5)=1+T(k-7)
... ...
... ...
T(2)=1+T(2-2) T(1)=1
分别相加得,
T(k)=k/2+T(2-2)=k/2+1(k为偶数)
T(k)=(k-1)/2+1(k为奇数)
问老师吧
当k=2n时，T（k）=k/2+1
当k=2n+1时，T（k）=（k+1）/2