假设一个正整数能把斐波那契数列中的一个数整除证明它能把斐波那契数列中无数个数整除

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 18:38:23

假设一个正整数能把斐波那契数列中的一个数整除证明它能把斐波那契数列中无数个数整除
假设一个正整数能把斐波那契数列中的一个数整除证明它能把斐波那契数列中无数个数整除

假设一个正整数能把斐波那契数列中的一个数整除证明它能把斐波那契数列中无数个数整除
记斐波那契数列的第n项为F[n],并设题述正整数为k,设k|F[m]
考虑有序数对(F[n],F[n+1]),这样的数对有无穷多个,但被k除所得的余数对只有k²个（(0,0),(0,1),...,(0,k-1),(1,0),...,(k-1,k-1)）,因此必存在两个有序数对(F[n1],F[n1+1]),(F[n2],F[n2+1])（可以使得n1于是我们有F[n1-1]=F[n1+1]-F[n1]≡F[n2+1]-F[n2]=F[n2-1](mod k),同理可得F[n1-2]≡F[n2-2](mod k),...,F[m]≡F[n2-n1+m]≡0(mod k),即k|F[n2-n1+m]
这样我们由k|F[m]推得了k|F[n2-n1+m],此过程可以无限进行下去,因此斐波那契数列中有无数个数能被k整除

可以利用斐波那契数列的一个性质：
斐波那契数列中两项a(n)和a(m)的公约数为a(d)，d是m和n的公约数
所以如果k能整除a(d)，那么k必然能整除a(td),t=1,2,3,..........

假设一个正整数能把斐波那契数列中的一个数整除 证明它能把斐波那契数列中无数个数整除

假设一个正整数能把斐波那契数列中的一个数整除证明它能把斐波那契数列中无数个数整除