初中几何证明题已知正方形ABCD,E是BC中点,角EAF等于45度,CF为角DCG的角平分线,FG垂直BC的延长线于G,求证:DC等于EC加FG

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 18:59:27

初中几何证明题已知正方形ABCD,E是BC中点,角EAF等于45度,CF为角DCG的角平分线,FG垂直BC的延长线于G,求证:DC等于EC加FG
初中几何证明题
已知正方形ABCD,E是BC中点,角EAF等于45度,CF为角DCG的角平分线,FG垂直BC的延长线于G,求证:DC等于EC加FG

初中几何证明题已知正方形ABCD,E是BC中点,角EAF等于45度,CF为角DCG的角平分线,FG垂直BC的延长线于G,求证:DC等于EC加FG
连结AC,
三角形ACF为直角三角形
CF=AC*tan(角CAF)=根2*AB*tan(角CAF)
BE=AB*tan(角BAE)
而角BAE=角CAF      (角BAE=45度-角EAC=角CAF)
所以CF=根2*AB*tan(角CAF)=根2*AB*tan(角BAE)=根2*BE
又CF=根2*CG
所以CG=BE
CD=BC=BE+EC=CG+EC
至此,命题得证

如图:由题意可知∠1+∠3=∠2+∠3=45度,∠4+∠5=90度

∴∠1=∠2,∠B=∠ACF=90度,

∴ΔABE∽ΔACF,

∴AB:BE=AC:CF

若设AB=2a,则BE=EC=a,AC=2√2a,

则CF=BE*AC/AB=a*2√2a/2a=√2a,

∴在等腰直角三角形CGF中,FG=a

∴DC=AB=2a,EC+FG=a+a=2a

∴DC=EC+FG

取AB中点P,连接PE,EF,证明△APE≌△ECF,得出AE=EF,再证明△ABE全等于△EGF,得出AB=EG,∴CD=AB=EG=EC+CG=EC+FG

很简单啊
设AF CD交点P
只需证明DP=CD/3
而显然BE+DP=EP
由勾股定理可算 在三角形CEP中

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