作业帮有理系数多项是无理根是否有类似实系数多项式虚根共轭的情况,请给予 证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:06:37
有理系数多项是无理根是否有类似实系数多项式虚根共轭的情况,请给予 证明.
有理系数多项是无理根是否有类似实系数多项式虚根共轭的情况,请给予 证明.
有理系数多项是无理根是否有类似实系数多项式虚根共轭的情况,请给予 证明.
这个可以说是有的,不过共轭的概念要扩充为Galois群作用.
具体的要学过抽象代数里域扩张的Galois理论.对应表述为:
命题:若P(x)是数域F上的一元不可约多项式,且P(x)的根都属于扩域K,
则Galois群Gal(K/F)在P(x)的根上的作用传递.
这句话涉及术语略多,尽可能的解释吧.
数域:是指复数的子集,满足包含0,1并对四则运算封闭(即运算结果还在其中).
在F上不可约:就是不能分解为次数更低的,系数在F里的多项式的乘积,一般要求本身次数 ≥ 1.
K是F的扩域:是指K是数域并包含F,相等也行,算是平凡情况.
Gal(K/F):是一个集合(其实有群结构,但就不解释了),其中的元素是K的保持F不动的域自同构.
域自同构:一个域到自身的双射f,并保持域的所有运算比如有f(a)+f(b) = f(a+b).
保持F不动:对F中的元素有f(a) = a.
在根上的作用:Gal(K/F)里的元素作为映射可以把P(x)的根a映成f(a).
因为f保持运算,并保持P(x)的系数不动,可以证明f(a)仍是P(x)的根.
...作用传递:对P(x)的任何两个根a,b,存在Gal(K/F)里的元素f使b = f(a).
对F是实数域,不可约多项式有两种,实系数1次多项式和无实根的实系数2次多项式.
1次以上的实系数多项式都可以写成不可约多项式的乘积.
1次多项式的情况是平凡的,我们看2次不可约多项式.
首先其根都属于复数域,而复数域的保持实数不动的域自同构只有恒等和复共轭.
即Galois群只有这两个元素.命题说Galois群在根上的作用传递.
就是说根的复共轭还是根(是在根上的作用),并且根互为复共轭(作用传递).
于是2次不可约多项式的根(即虚根)是关于复共轭成对的.
F是有理数的例子,比如K是数域Q(√2),元素可表示为a+b√2,其中a,b是有理数.
Gal(K/F)的元素有两个,恒等和"共轭":即将a+b√2变为a-b√2的映射.
系数在F中且根都在K中的不可约多项式同样只能是1次和2次的.
其中2次的不可约多项式的根关于上述"共轭"成对.
Gal(K/F)的元素不限于共轭这样的2阶元.
例如cos(π/9),cos(7π/9)和cos(13π/9)是4x³-3x = 1/2的3个根(三倍角公式).
它们都能表示为a+b·cos(π/9)+c·cos²(π/9)的形式,因而在K = Q(cos(π/9))中.
Gal(K/F)中的非恒等元素在这三个根上是轮换(轮换有顺逆两种).
根都在K中的,次数大于1的不可约有理系数多项式是3次的,3个根在Gal(K/F)作用下轮换.
一般Galois群的结构还要复杂的多,复杂到一定程度还会使得相应代数方程没有根式解.
就是Galois当时开创的方法,所以这套理论称为Galois理论.
可能总是验证P(x)的根都属于扩域K这个条件显得很繁,但是毕竟一般的域没有复数域那么好.
当然也不推荐简单的取K为复数域,因为这样Gal(K/F)将会很大(无穷集),有很多"多余"的元素.
一般取K为刚好包含P(x)所有根的域,称为P(x)的分裂域.
此时Gal(K/F)中的不同元素在P(x)的根上的作用一定不完全相同.
一般结论就是,一个有理系数多项式首先分解为不可约的有理系数多项式的乘积,
然后每个不可约因子的根在其分裂域的Galois群作用下彼此"共轭".