求 两个数学公式的推导过程及结果1^2+2^2+3^2+……+n^2=?1^3+2^3+3^3+……+n^3=?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 11:01:34

求 两个数学公式的推导过程及结果1^2+2^2+3^2+……+n^2=?1^3+2^3+3^3+……+n^3=?
求 两个数学公式的推导过程及结果
1^2+2^2+3^2+……+n^2=?
1^3+2^3+3^3+……+n^3=?

求 两个数学公式的推导过程及结果1^2+2^2+3^2+……+n^2=?1^3+2^3+3^3+……+n^3=?
1.1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
2.
n^3-(n-1)^3=[n-(n-1)][n^2+n(n-1)+(n-1)^2]=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^2=3(n-1)^2-3(n-1)+1
.
2^3-1^3=3*2^3-3*2+1
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
以上各式相加得：
n^3=3[n^+(n-1)^2+...+1^2]-3[n+(n-1)+...+1]+n
=3[1^2+2^2+...+n^2]-3n(n+1)/2+n
3{1^2+2^2+...+n^2)=n^3+3n(n+1)/2-n=n(n+1)(2n+1)/2
故：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
2.
(n+1)^4-n^4==4n^3+6n^2+4n+1 ∴n^3==(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4
∴左边==∑i^3==(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2==(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)==(1/4)(n^4+2n^3+n^2)==[(1/2)n(n+1)]^2==(1+2+3+…+n)^2 ==n^2*(n+1)^2/4
附注:这里用了另一个公式∑i^2==(1/6)n(n+1)(2n+1)

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