作业帮若P为三角形ABC所在平面上一点,且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°则点P叫做三角形ABC的费马点如图在锐角ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'求证BB'过三角形ABC的费马点P且BB'＝PA+PB+PC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 14:59:33
若P为三角形ABC所在平面上一点,且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°则点P叫做三角形ABC的费马点如图在锐角ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'求证BB'过三角形ABC的费马点P且BB'＝PA+PB+PC
若P为三角形ABC所在平面上一点,且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°则点P叫做三角形ABC的费马点如图在锐角ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'求证BB'过三角形ABC的费马点P且BB'＝PA+PB+PC
若P为三角形ABC所在平面上一点,且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°则点P叫做三角形ABC的费马点如图在锐角ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'求证BB'过三角形ABC的费马点P且BB'＝PA+PB+PC
1.先证明共线
连接PB'
角APC+角AB'C=180°
故APCB'四点共圆
故角APB'=ACB'=60°
角APB+APB'=180°
故PB PB'共线
2.在PB'取PD=PA
故三角形PAD为等边三角形
AD=PA=PD,角ADP=60°
角ADB'=120°=APC
AP=AD,AB'=AC
故三角形ADB'全等于APC
DB'=PC
PB'=PD+DB'=PA+PC
BB'=PA+PB+PC
显然该费马点到三角形三个顶点的距离和最小
第一个问题：
过A作PB的垂线，垂足为D。
∵P是△ABC的费马点，∴∠APB＝120°，∴点D在BP的延长线上，∴∠APD＝60°，
∴AD＝（√3/2）PA＝2√3。
第二个问题：
∵P是△ABC的费马点，∴∠APB＝∠APC＝120°。
∵△ACB′是△ABC外的一个正三角形，∴∠ACB′＝∠AB′C＝60°，∴∠APC＋∠AB′C...
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第一个问题：
过A作PB的垂线，垂足为D。
∵P是△ABC的费马点，∴∠APB＝120°，∴点D在BP的延长线上，∴∠APD＝60°，
∴AD＝（√3/2）PA＝2√3。
第二个问题：
∵P是△ABC的费马点，∴∠APB＝∠APC＝120°。
∵△ACB′是△ABC外的一个正三角形，∴∠ACB′＝∠AB′C＝60°，∴∠APC＋∠AB′C＝180°，
∴A、P、C、B′共圆，∴∠APB′＝∠ACB′＝60°，∴∠APB＋∠APB′＝180°，
∴B、P、B′共线，∴BB′过△ABC的费马点。
第三个问题：
在BB′上取一点E，使PE＝PC。
∵PE＝PC、∠CPE＝∠APC－∠APB′＝120°－60°＝60°，∴△PCE是正三角形，
∴∠PCE＝∠PEC＝60°、PC＝PE＝EC。
∵△ACB′是正三角形，∴AC＝B′C。
∵∠PEC＝60°，∴∠B′EC＝120°，∴∠APC＝∠B′EC。
又∠ACP＝∠PCE－∠ACE＝60°－∠ACE＝∠ACB′－∠ACE＝∠B′CE。
∴由AC＝B′C、∠APC＝∠B′EC、∠ACP＝∠B′CE，得：△ACP≌△B′EC，∴PA＝EB′。
显然有：BB′＝PB＋PE＋EB′，又PE＝PC、EB′＝PA，∴BB′＝PA＋PB＋PC
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