作业帮一道数学推理题,求解数列{an}满足:a1=1/6,前n项和Sn=[n(n+1)/2]an(1)写出a1,a2,a3(2)猜出an的表达式,并用数学归纳法证明.关键是第二问,第一问我也知道!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 12:48:35
一道数学推理题,求解数列{an}满足:a1=1/6,前n项和Sn=[n(n+1)/2]an(1)写出a1,a2,a3(2)猜出an的表达式,并用数学归纳法证明.关键是第二问,第一问我也知道!
一道数学推理题,求解
数列{an}满足:a1=1/6,前n项和Sn=[n(n+1)/2]an
(1)写出a1,a2,a3
(2)猜出an的表达式,并用数学归纳法证明.
关键是第二问,第一问我也知道!
一道数学推理题,求解数列{an}满足:a1=1/6,前n项和Sn=[n(n+1)/2]an(1)写出a1,a2,a3(2)猜出an的表达式,并用数学归纳法证明.关键是第二问,第一问我也知道!
a1=1/6
a2=1/12
a3=1/12
a1=1/(2*3)
a2=1/(3*4)
a3=1/(4*5)
猜想：an=1/[(n+1)(n+2)]
证明：
（1）当n=1时成立
（2）假设当n=k时成立,ak=1/[(k+1)(k+2)]
则当n=k+1时
a(k+1)
=S(k+1)-Sk
=[(k+1)(k+2)/2]a(k+1)-[k(k+1)/2]/[(k+1)(k+2)]
移项得
([(k+1)(k+2)/2]-1)a(k+1)=k/[2(k+2)]
[(k²+3k)/2]a(k+1)=k/[2(k+2)]
a(k+1)=1/[(k+2)(k+3)],即n=k时,依然成立
综合(1)(2),对任意k,当n=k时,ak=1/[(k+1)(k+2)]恒成立
数列{an}的通项是an=1/[(n+1)(n+2)]
A1=1/6；A2=1/12； A3=1/20；
An=1/[(n+1)(n+2)];
证明：
当n=1时；成立；
假设当n=k时成立；Sk=k/[2(k+2)];
当n=k+1时；S(k+1)=sk+A(k+1)=[(k+1)(k+2)/2]A(k+1);
得出A(k+1)=1/[(k+1)(k+2)];
得证；
a1=1/6 A2=1/12 a3=1/20