【三角形的四心】之垂心性质证明,请高手帮忙证明它的性质帮忙证明（3）和欧拉线

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 11:18:53

【三角形的四心】之垂心性质证明,请高手帮忙证明它的性质帮忙证明（3）和欧拉线
【三角形的四心】之垂心性质证明,请高手帮忙证明它的性质
帮忙证明（3）和欧拉线

【三角形的四心】之垂心性质证明,请高手帮忙证明它的性质帮忙证明（3）和欧拉线

既然你第一问,第二问知道了那我就不证了,直接跳到第三问

(3)

连接CH,CH1,BH1

由第二问已证得H,H1关于BC轴对称

所以不难得出得△BCH≌△BCH1

所以△BCH外接圆的大小等同于△BCH1外接圆的大小

因为△BCH1外接圆正是△ABC的外接圆

所以△BCH外接圆的大小=△ABC的外接圆大小

即可得圆BCH与圆ABC半径相等

欧拉线证明：连接OH

设AD与OH相交与T点

只需证明G为T点即得三点共线

连接AO并延长交圆于F点

连接FH1  延长OD交FH1于K点

因为AF为直径,所以∠AH1F=90°

即AH1⊥FH1,所以FH1∥BC

OD⊥BC,所以OK∥AH1

O是AF中点,所以OK为△AFH1的中位线

即2OK=AH1

2（OD+DK）=AH+HH1=AH+2RH1

因为DK=RH1

所以2（OD+DK）=2（OD+RH1）=AH+2RH1

所以2OD=AH

因为OD∥AH

所以△TOD∽△THA

所以OD/AH=OT/HT=DT/AT=1/2

DT/AT=1/2  AD为中线T在AD的三等分点处

所以可得T即G点

所以OGH三点共线

GO/GH=OT/HT=1/2

可得GH=2GO

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